波动方程 - 波动方程是个什么方程

波动方程 - 波动方程是个什么方程

flyfish

波动方程或称波方程（英语：wave equation）是一种二阶线性偏微分方程,波动方程是双曲型偏微分方程的最典型代表.

微分方程

微分方程（Differential Equation）是一类包含未知函数及其导数的方程。微分方程的作用是描述函数如何随其变量的变化而变化。微分方程主要有以下两类：

1. 常微分方程（Ordinary Differential Equation, ODE） ：

• 只涉及一个自变量和其导数的方程。

• 例如，描述人口增长的方程：$\frac{dP}{dt}=rP$，其中 $P$ 是人口数量，$t$ 是时间，$r$ 是增长率。

2. 偏微分方程（Partial Differential Equation, PDE） ：

• 涉及多个自变量和其偏导数的方程。

• 例如，描述热传导的热方程： $$\frac{\partial u}{\partial t}=\alpha \frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}$$，其中 $u(x,t)$ 表示在位置 $x$ 和时间 $t$ 的温度分布，$\alpha$ 是热扩散系数。

常微分方程 ：涉及一个自变量及其导数。
偏微分方程 ：涉及多个自变量及其偏导数。

常微分方程 ：
$$\frac{dy}{dx}=ky$$
这是一个简单的常微分方程，描述了指数增长或衰减现象。

偏微分方程 ：
$$\frac{{\partial }^{2}u}{\partial t^2}=c^2\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}$$
这是经典的波动方程，描述了波在介质中的传播。

一阶线性偏微分方程

一阶线性偏微分方程 是指偏微分方程中最高阶的偏导数是一阶的方程。它可以用一般形式表示为：
$a(x,y)\frac{\partial u}{\partial x}+b(x,y)\frac{\partial u}{\partial y}+c(x,y)u=d(x,y)$
其中，$u=u(x,y)$ 是未知函数，$a,b,c,d$ 是已知函数。一个典型的一阶线性偏微分方程的例子是：
$\frac{\partial u}{\partial t}+c\frac{\partial u}{\partial x}=0$
这个方程描述了一个沿着 $x$ 轴以速度 $c$ 传播的波。

二阶线性偏微分方程

二阶线性偏微分方程 是指偏微分方程中最高阶的偏导数是二阶的方程。它可以用一般形式表示为：
$$A(x,y)\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}+B(x,y)\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x\partial y}+C(x,y)\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}+D(x,y)\frac{\partial u}{\partial x}+E(x,y)\frac{\partial u}{\partial y}+F(x,y)u=G(x,y)$$
其中，$u=u(x,y)$ 是未知函数，$A,B,C,D,E,F,G$ 是已知函数。波动方程 的一个常见形式是：
$$\frac{{\partial }^{2}u}{\partial t^2}=c^2\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}$$
这里 $u=u(x,t)$ 是描述在位置 $x$ 和时间 $t$ 的波动函数，$c$ 是波速。

双曲型偏微分方程

双曲型偏微分方程 是一类特殊类型的二阶线性偏微分方程，具有某些重要的数学特性，特别是它们描述了具有波动性质的现象。对于一般形式的二阶线性偏微分方程：
$$A(x,y)\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}+B(x,y)\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x\partial y}+C(x,y)\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}=0$$
可以通过判定条件 $B^2-4AC>0$ 来确定它是否为双曲型方程。
波动方程是最典型的双曲型偏微分方程。波动方程的双曲性表明它的解有明确的波动传播特性，即解的影响以有限速度传播。

例子

一阶线性偏微分方程 ：

• 一阶传输方程： $\frac{\partial u}{\partial t}+c\frac{\partial u}{\partial x}=0$

二阶线性偏微分方程 ：

• 波动方程： $\frac{{\partial }^{2}u}{\partial t^2}=c^2\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}$
• 热方程： $\frac{\partial u}{\partial t}=\alpha \frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}$
• 拉普拉斯方程： $\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}=0$

双曲型偏微分方程 ：

• 波动方程： $\frac{{\partial }^{2}u}{\partial t^2}=c^2\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}$