【高数-偏导数】多元复合函数的链式求导法则

多元复合函数的链式求导法则

理解多元复合函数

对于一个多元函数 $z=f(u,v)$ ，如果作为自变量的 $u、v$ 均可用另一个函数来表示 ，那么多元函数 $z=f(u,v)$ 称为具有中间变量的多元复合函数。

其中，"复合"的关键在于 $u,v$ 均可写成另一个函数的形式，例如：
$$u=\varphi (t),v=\psi (t)$$
则 $z=f(u,v)$ 可表示为
$$f(\varphi (t),\psi (t))$$
此时，$u,v$ 就是多元复合函数的中间变量。

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根据中间变量选择求导方式

根据中间变量的不同情况，我们可以选择不同的求偏导数的方式。

• 情况一：中间变量均为一元函数

例如，当$u=\varphi (t),v=\psi (t)$ 时，$z=f(\varphi (t),\psi (t))$​，

$z$ 对于 $t$ 的偏导数为

$$\frac{dz}{dt}=\frac{\partial z}{\partial u}\cdot \frac{du}{dt}+\frac{\partial z}{\partial v}\cdot \frac{dv}{dt}$$

• 情况二：中间变量均为多元函数

例如，当$u=\varphi (x,y),v=\psi (x,y)$ 时，$z=f(\varphi (x,y),\psi (x,y))$，

$z$ 对于 $x,y$ 的偏导数分别为
$$\frac{dz}{dx}=\frac{\partial z}{\partial u}\cdot \frac{du}{dx}+\frac{\partial z}{\partial v}\cdot \frac{dv}{dx}$$

$$\frac{dz}{dy}=\frac{\partial z}{\partial u}\cdot \frac{du}{dy}+\frac{\partial z}{\partial v}\cdot \frac{dv}{dy}$$

• 情况三：中间变量既有一元函数，又有多元函数

例如，当$u=\varphi (x,y),v=\psi (y)$ 时，$z=f(\varphi (x,y),\psi (y))$

因只有中间变量 $u$ 含有自变量 $x$ ，故 $z$ 对于 $x$ 的偏导数为
$$\frac{dz}{dx}=\frac{\partial z}{\partial u}\cdot \frac{du}{dx}$$
因中间变量 $u,v$ 均含有自变量 $y$ ，故 $z$ 对于 $y$ 的偏导数为
$$\frac{dz}{dy}=\frac{\partial z}{\partial u}\cdot \frac{du}{dy}+\frac{\partial z}{\partial v}\cdot \frac{dv}{dy}$$