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【LetMeFly】3181.执行操作可获得的最大总奖励 II：动态规划+位运算优化

力扣题目链接：https://leetcode.cn/problems/maximum-total-reward-using-operations-ii/

给你一个整数数组 rewardValues，长度为 n，代表奖励的值。

最初，你的总奖励 x 为 0，所有下标都是 未标记 的。你可以执行以下操作 任意次 ：

• 从区间 [0, n - 1] 中选择一个 未标记 的下标 i。
• 如果 rewardValues[i] 大于 你当前的总奖励 x，则将 rewardValues[i] 加到 x 上（即 x = x + rewardValues[i]），并 标记 下标 i。

以整数形式返回执行最优操作能够获得的 最大 总奖励。

 

示例 1：

输出：4

解释：

依次标记下标 0 和 2，总奖励为 4，这是可获得的最大值。

示例 2：

输出：11

解释：

依次标记下标 0、2 和 1。总奖励为 11，这是可获得的最大值。

 

提示：

• 1 <= rewardValues.length <= 5 * 104
• 1 <= rewardValues[i] <= 5 * 104

解题方法：动态规划

在【LetMeFly】3180.执行操作可获得的最大总奖励 I：动态规划中，我们已经知道了$O(mn)$时间复杂度的算法：

使用$dp[i]$代表奖励$i$能否获得，对于奖励数组中的一个奖励$x$有转移公式$dp[i]|=dp[i-x]$，其中$0\le i-x<x$。

本题增加了数据量，$\max (mn)=50000\times 50000=2500000000=2.5e9$，难以在$1$秒内完成计算，因此需要一些“并行计算”来降低一些时间复杂度：

不难发现，对于一个奖励$x$我们需要从$0$遍历到$x-1$，导致了$O(m)$的时间复杂度。

但实际上，$dp$数组的每一个元素都是一个布尔类型的数据，我要是把这些数据拼接起来（比如原来的一个bool类型的数据变成一个整数的某一位）是不是时空复杂度直接能除以一个整数位数/计算机字长呢？

现在我们将$dp$由布尔类型的数组变成一个很多位的大整数或bitset，对于$0\le i<x$，$dp[i+x]|=dp[i]$就变成了$dp|=(dp低x位左移x位后的结果)$，因此问题就变成了如何获取$dp$这个大整数的低$x$位左移$x$位的结果。常见方法如：

1. 方法一（对于大整数）：首先获得一个低$x$位全为$1$的掩码$mask$（$mask=(1<<x)-1$），然后取出$dp$的低$x$位（$dp\&mask$），将这个结果左移$x$位（$(dp\&mask)<<x$）
2. 方法二（对于bitset）：先将$dp$左移$len(dp)-x$位再右移$len(dp)-x$位，则除了低$x$位以外都变成了$0$，再将其左移$x$位即可（$dp<<(len(dp)-x)>>(len(dp)-x)<<x$，等价于$dp<<(len(dp)-x)>>(len(dp)-2x)$）

• 时间复杂度$O(n\log n+nm/w)$，其中$w$是整数位数或计算机字长，一般为$64$（或$32$），$\max (mn)=50000\times 50000/64=39,062,500\approx 3.9e7$
• 空间复杂度$O(\log n+m/w)$

AC代码

C++

class Solution {
public:int maxTotalReward(vector<int>& rewardValues) {sort(rewardValues.begin(), rewardValues.end());bitset<100000> dp = 1;  // 2 * (50000)for (int x : rewardValues) {// [0, x - 1]// dp |= dp << (100000 - x) >> (100000 - x) << x;dp |= dp << (100000 - x) >> (100000- 2 * x);}int ans = rewardValues.back() * 2 - 1;while (!dp.test(ans)) {ans--;}return ans;}
};

Python

from typing import Listclass Solution:def maxTotalReward(self, rewardValues: List[int]) -> int:rewardValues.sort()dp = 1for x in rewardValues:dp |= (dp & ((1 << x) - 1)) << xreturn dp.bit_length() - 1

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Tisfy：https://letmefly.blog.csdn.net/article/details/143360617