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内容来源
应用多元统计分析 北京大学出版社 高惠璇编著

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威尔克斯 $\Lambda$ 分布

回顾一元统计中的 $F$ 分布

设 $\xi \sim {\chi }^2(m),\eta \sim {\chi }^2(n)$，且相互独立，则

$$F=\frac{\xi /m}{\eta /n}\sim F(m,n)$$

方差齐性检验

在两个总体 $N({\mu }_1,{\sigma }_x^2),N({\mu }_2,{\sigma }_y^2)$ 方差齐性检验中

$X_i(i=1,\cdots ,m)$ 为来自 $N({\mu }_1,{\sigma }_x^2)$ 的随机样本

$Y_i(i=1,\cdots ,n)$ 为来自 $N({\mu }_2,{\sigma }_y^2)$ 的随机样本

则 ${\sigma }_x^2$ 和 ${\sigma }_y^2$ 的估计量（样本方差）分别为

$$s_x^2=\frac{1}{m-1}\sum _{i=1}^m(X_i-\overline{X}{)}^2$$

$$s_y^2=\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^n(Y_i-\overline{Y}{)}^2$$

则检验统计量

$$F=\frac{s_x^2}{s_y^2}\sim F(m-1,n-1)$$

广义方差定义

设 $X\sim N_p(\mu ,\Sigma )$

则称协方差阵的行列式 $|\Sigma |$ 为 $X$ 的广义方差

设 $X_i$ 为总体 $X$ 的随机样本，$A$ 为样本离差阵

则称 $|\frac{1}{n}A|$ 或 $|\frac{1}{n-1}A|$ 为样本广义方差

定义

设 $A_1\sim W_p(n_1,\Sigma ),A_2\sim W_p(n_2,\Sigma ),(\Sigma >0,n_1⩾p)$

且 $A_1$ 与 $A_2$ 独立，则广义方差之比

$$\Lambda =\frac{|A_1|}{|A_1+A_2|}$$

为威尔克斯统计量，其分布称为威尔克斯分布

记为 $\Lambda \sim \Lambda (p,n_1,n_2)$

与其他统计量的关系

当 $n_2=1$ 时

$$\Lambda (p,n_1,1)=\frac{1}{1+\frac{1}{n_1}{T}^2(p,n_1)}$$

$$T^2(p,n_1)=n_1\frac{1-\Lambda (p,n_1,1)}{\Lambda (p,n_1,1)}$$

$$F(p,n_1-p+1)=\frac{n_1-p+1}{n_{1}p}{T}^2(p,n_1)=\frac{n_1-p+1}{p}\frac{1-\Lambda (p,n_1,1)}{\Lambda (p,n_1,1)}$$

当 $n_2=2$ 时

$$F(2p,2(n_1-p+1))=\frac{n_1-p+1}{p}\frac{1-\sqrt{\Lambda (p,n_1,2)}}{\sqrt{\Lambda (p,n_1,2)}}$$

当 $p=1$ 时

$$\frac{n_1}{n_2}\frac{1-\Lambda (1,n_1,n_2)}{\Lambda (1,n_1,n_2)}=F(n_2,n_1)$$

当 $p=2$ 时

$$\frac{n_1-1}{n_2}\frac{}{}\frac{1-\sqrt{\Lambda (2,n_1,n_2)}}{\sqrt{\Lambda (2,n_1,n_2)}}=F(2n_2,2(n_1-1))$$

当 $n_2>2,p>2$ 时可用 ${\chi }^2$ 近似

$$-r\ln \Lambda \sim {\chi }^2(p{n}_2)$$

其中 $r=n_1-\frac{1}{2}(p-n_2+1)$

性质

1

若 $\Lambda \sim \Lambda (p,n_1,n_2)$

则存在 $B_k\sim \beta (\frac{n_1-p+k}{2},\frac{n_2}{2}),(k=1,\cdots ,p)$ 相互独立

使得

$$\Lambda =B_1{B}_2\cdots B_p$$

2

若 $n_2<p$，则

$$\Lambda (p,n_1,n_2)=\Lambda (n_2,p,n_1+n_2-p)$$

这是一元统计中 $F(n,m)=\frac{1}{F(m,n)}$ 的推广