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样条插值（Spline Interpolation）详解

样条插值（Spline Interpolation）是一种用于数据拟合和插值的方法，它使用一系列低阶多项式拼接在一起，以平滑地逼近一组数据点。相比于高阶多项式插值（如拉格朗日插值和牛顿插值），样条插值能够有效避免振荡现象，提高数值稳定性。

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1. 为什么使用样条插值？

在插值问题中，若直接使用高阶多项式进行全局插值，会导致如下问题：

1. 龙格现象（Runge’s Phenomenon）：在等距节点上使用高阶多项式插值时，端点处可能出现剧烈振荡，使得插值函数偏离真实数据。
2. 数值不稳定性：高阶多项式的系数往往较大，计算过程易受舍入误差影响。
3. 局部修改的影响大：更改一个数据点可能会对整个插值函数造成很大影响。

样条插值使用低阶多项式（通常是分段三次多项式）在局部区域内插值，并确保拼接点处具有一定的光滑性，从而避免上述问题。

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2. 样条插值的基本思想

假设已知一组插值点 $(x_0,y_0),(x_1,y_1),...,(x_n,y_n)$，我们希望找到一条由多个分段低阶多项式组成的光滑函数 $S(x)$ 来进行插值。

2.1. 线性样条插值

最简单的样条插值是 线性样条插值，即在每个相邻的插值点之间用线性函数连接：
$$S_i(x)=a_{i}x+b_i,x\in [x_i,x_{i+1}]$$
系数 $a_i,b_i$ 由以下方程确定：

• 插值条件（通过所有数据点）：
  $$S_i(x_i)=y_i,S_i(x_{i+1})=y_{i+1}$$
• 解得：
  $$a_i=\frac{y_{i+1}-y_i}{x_{i+1}-x_i},b_i=y_i-a_i{x}_i$$

线性样条简单，但通常不够平滑，拐点较多，不能提供高阶连续性。

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2.2. 二次样条插值

二次样条插值在每个区间内使用二次多项式：
$$S_i(x)=a_i{x}^2+b_{i}x+c_i,x\in [x_i,x_{i+1}]$$
要求满足：

1. 插值条件：
   $$S_i(x_i)=y_i,S_i(x_{i+1})=y_{i+1}$$
2. 一阶连续性：
   $$S_i^{\prime }(x_{i+1})=S_{i+1}^{\prime }(x_{i+1})$$
3. 边界条件（常见选择）：
   • 自然边界：$S^{\prime \prime }(x_0)=0,S^{\prime \prime }(x_n)=0$
   • 夹持边界：给定 $S^{\prime }(x_0)$ 和 $S^{\prime }(x_n)$

二次样条比线性样条更平滑，但一般应用较少，因其二阶导数不连续。

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2.3. 三次样条插值

三次样条插值是最常用的样条方法。在每个区间 $[x_i,x_{i+1}]$ 上定义三次多项式：
$$S_i(x)=a_i{x}^3+b_i{x}^2+c_{i}x+d_i$$
要求：

1. 插值条件：
   $$S_i(x_i)=y_i,S_i(x_{i+1})=y_{i+1}$$
2. 一阶导数连续：
   $$S_i^{\prime }(x_{i+1})=S_{i+1}^{\prime }(x_{i+1})$$
3. 二阶导数连续：
   $$S_i^{\prime \prime }(x_{i+1})=S_{i+1}^{\prime \prime }(x_{i+1})$$
4. 边界条件（两种常见选项）：
   • 自然样条（Natural Spline）：两端的二阶导数为零，即 $S^{\prime \prime }(x_0)=0,S^{\prime \prime }(x_n)=0$。
   • 夹持样条（Clamped Spline）：两端的一阶导数给定，即 $S^{\prime }(x_0)$ 和 $S^{\prime }(x_n)$ 已知。

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3. 三次样条插值的求解步骤

假设有 $n+1$ 个点 $(x_0,y_0),...,(x_n,y_n)$，定义步长：
$$h_i=x_{i+1}-x_i$$

令 $S_i(x)$ 的二阶导数在各点 $x_i$ 处为 $M_i$，则可以推导出：
$$M_{i-1}{h}_{i-1}+2(h_{i-1}+h_i)M_i+h_i{M}_{i+1}=6\frac{y_{i+1}-y_i}{h_i}-6\frac{y_i-y_{i-1}}{h_{i-1}}$$
这是一个 $n-1$ 维的三对角线性方程组，可用高斯消元或追赶法（Thomas 算法）求解。

解得 $M_i$ 后，各段的三次样条插值函数为：
$$S_i(x)=\frac{M_{i+1}(x-x_i{)}^3}{6h_i}+\frac{M_i(x_{i+1}-x{)}^3}{6h_i}+\left(\frac{y_{i+1}}{h_i}-\frac{M_{i+1}{h}_i}{6}\right)(x-x_i)+\left(\frac{y_i}{h_i}-\frac{M_i{h}_i}{6}\right)(x_{i+1}-x)$$

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4. 样条插值的应用

• 图形绘制（如曲线平滑）
• 数据拟合（如信号处理）
• 数值微分与积分（如数值求导）
• 运动轨迹规划（如机器人路径规划）

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5. 总结

• 线性样条：简单但不平滑。
• 二次样条：比线性更平滑，但二阶导数不连续。
• 三次样条：最常用，光滑性最好，适合实际应用。