零基础为了学人工智能，真的开始复习高数
这里我们更加详细讲解函数极限性质。上一篇文章里有一些内容还需要进一步补充。
局部有界性
这里是局部有界性的需要注意的事项。第3点，如果函数在闭区间内连续，则必定有界。试想一下，如果一个函数无界，一定是无穷大嘛？
如果在开区间内，函数无界，极限不一定是无穷大。这里的具体案例是一种震荡函数（我不知道为什么叫震荡函数，只是趋势的确震荡）。那就是：
这个函数在极限趋于0时，因为sinx的特性，会导致结果有时为零。所以不能说极限为无穷大。这是一个很有趣的反例。
这里也需要注意，极限存在是一个很重要的条件。在第4条中，如果开区间，但是临近开区间的两侧极限如果存在，那就意味着必定有界。
局部保号性
张宇老师讲解了超实数的概念，一般而言，接触新概念大家会比较陌生。但是其实超实数对于大家理解极限，真的很有帮助。
那具体如何理解超实数呢？我给出一些粗鄙的说法。
对于实数，这是一种静态概念。例如，一个实数，是多少必然就是多少。但是超实数不是静态的，是一种动态概念。用现实生活来看待，假设一个人站在原地不动，那就是实数，但是如果有另外一个人正在无限靠近你，却永远到达不了你的位置。
这个无限，不断靠近的过程其实就是一种动态概念，也包含了超实数的逻辑。
而局部保号性的理解就使用了这种基本逻辑。
第二条，x0的去心领域f(x)大于等于0，因为f(x)>0时，A作为一个实数，A的值是可以取到0的，因此，直接在x0的去心邻域内，f(x)大于等于零。
而第一条，f(x)趋近于A，而A大于0，这里涉及到了超实数的概念。因为A本身大于零，对应的实数也必定大于零了。f(x)必定大于零。
由此也产生了张宇老师讲解的带帽，脱帽...其实没记住，我记住了逻辑。
证明
习题：
主要参考：《2025考研数学全程班 基础30讲 张宇考研数学！》