一、二次型的基础知识
1. 二次型
定义：含有 n 个变量 x1 , x2 ,…, xn 的二次齐次函数
- f = a11·x12 + a22·x22 + … + ann·xn2 + 2a12·x1x2 + 2a13·x1x3 + … + 2a(n-1),n·xn-1xn
- f = xTAx（AT = A），x = (x1 , x2 ,…, xn)T
- f = Σi=1nΣj=1n aijxixj
称 A 是二次型的矩阵，r(A) 是二次型的秩，A 是实对称矩阵。
注意：二次型的矩阵是实对称矩阵，且唯一。
2. 标准型
二次型的标准型只含有平方项，即 f(x1 , x2 ,…, xn) = d1·x12 + d2·x22 + … + dn·xn2
如何将二次型化为标准型？
1）正交变换法
- 求特征值
- 求特征向量
- 正交化、单位化得到 η1 , η2 , η3
- 拼起来，令 Q = (η1 , η2 , η3) ，则 x = Qy 就是正交变换
若 f = xTAx 经可逆线性变换 x = Qy 后所得二次型为 f = yTBy ，则变换前二次型对应矩阵 A ，变换后二次型对应矩阵 B 及线性变换的可逆矩阵 Q 之间满足：QTAQ = B（即合同关系）
注：只有当 Q 可逆时，变换前后的二次型对应矩阵才具有合同关系，此时它们才会有相同的正负惯性指数与秩。
2）配方法
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc
配方训练：
f(x1 , x2 , x3) = x12 + 5·x22 + 5·x32 + 2x1x2 - 4x1x3
= (x1 + x2 - 2·x3)2 + 4·x22 + x32 + 4x2x3
= (x1 + x2 - 2·x3)2 + (2x2 + x3)2
令 y1 = x1 + x2 - 2·x3 ，y2 = 2x2 + x3 ，得到标准型为 y12 + y22
3）总结
- 二次型对应实对称矩阵，标准型对应对角矩阵
- 将二次型化为标准型的过程就是将实对称矩阵化为对角矩阵的过程（即相似对角化）
- 二次型化为标准型方法：
正交变换法（标准型平方项前系数就是特征值）
配方法（标准型平方项前系数不是特征值） - 标准型不唯一
3. 规范型
在标准型中，若平方项的系数 di 为 1，-1，0 ，即 xTAx = x12 + x22 +…+ xp2 - xp+12 - xp+22 -…- xp+q2 ，则称其为二次型的规范型。
4. 惯性指数与惯性定理
〘惯性指数〙：在标准型中，正平方项的个数称为正惯性指数，记为 p ；负平方项的个数称为负惯性指数，记为 q 。
求惯性指数方法：
- 求特征值后，数正负的个数
- 配方法后，数平方项前正负的个数
〘惯性定理〙：二次型经过可逆坐标变换后，正、负惯性指数保持不变，且 p + q = r(f) = r(A)
【总结】：