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1. 提出任务

• 用四种不同的方法来求解$x+y=7$条件下$xy$的最大值。

2. 完成任务

方法一：代数方法（配方法）

1. 由$x+y=7$可得$y=7-x$。
2. 将$y$代入$xy$中，得到$xy=x(7-x)=7x-x^2$。
3. 这是一个二次函数$f(x)=-x^2+7x$，其图像是一个开口向下的抛物线，最大值出现在顶点处。
4. 抛物线$a{x}^2+bx+c$的顶点$x$坐标为$x=-\frac{b}{2a}$。
5. 代入$a=-1$和$b=7$，得到$x=\frac{7}{2}$。
6. 代回求$y$，得到$y=\frac{7}{2}$。
7. 计算$xy$的最大值：$xy={\left(\frac{7}{2}\right)}^2=\frac{49}{4}$。

方法二：代数方法（均值换元法）

1. 做均值换元
   $x=\frac{7}{2}+t$
   $y=\frac{7}{2}-t$

2. 计算$xy$
   $xy=\left(\frac{7}{2}+t\right)\left(\frac{7}{2}-t\right)$

3. 使用平方差公式
   $xy={\left(\frac{7}{2}\right)}^2-t^2$
   $xy=\frac{49}{4}-t^2$

4. 分析表达式
   表达式$\frac{49}{4}-t^2$是关于$t$的二次函数，其中$t^2$的系数为负，表明它是一个开口向下的抛物线。因此，当$t^2$最小时，$xy$取得最大值。

5. 确定$t^2$的最小值
   $t^2$的最小值为 0，这发生在$t=0$时。

6. 计算$xy$的最大值
   当$t=0$时，$xy=\frac{49}{4}-0^2=\frac{49}{4}$
   因此，$xy$的最大值是$\frac{49}{4}$。

方法三：微积分方法（一阶导数为0）

1. 由$x+y=7$可得$y=7-x$。
2. 将$y$代入$xy$中，得到$xy=x(7-x)=7x-x^2$。
3. 对$f(x)=7x-x^2$求导，得到$f^{\prime }(x)=7-2x$。
4. 令导数等于零求极值点：$7-2x=0$，解得$x=\frac{7}{2}$。
5. 代回求$y$，得到$y=\frac{7}{2}$。
6. 计算$xy$的最大值：$xy={\left(\frac{7}{2}\right)}^2=\frac{49}{4}$。

方法四：基本不等式（AM-GM不等式）

1. 由算术平均值-几何平均值不等式（AM-GM不等式），对于非负实数$x$和$y$，有$\frac{x+y}{2}\ge \sqrt{xy}$。
2. 给定$x+y=7$，代入不等式得到$\frac{7}{2}\ge \sqrt{xy}$。
3. 两边平方得到${\left(\frac{7}{2}\right)}^2\ge xy$，即$\frac{49}{4}\ge xy$。
4. 当且仅当$x=y$时，等号成立。
5. 由$x+y=7$和$x=y$可得$x=y=\frac{7}{2}$。
6. 计算$xy$的最大值：$xy={\left(\frac{7}{2}\right)}^2=\frac{49}{4}$。

3. 实战小结

• 我们使用了四种不同的方法来求解$x+y=7$条件下$xy$的最大值。这些方法包括代数方法（配方法）、均值换元法、微积分方法（一阶导数为0）以及基本不等式（AM-GM不等式）。每种方法都得出相同的结果，即$xy$的最大值为$\frac{49}{4}$。这证明了结果的一致性和数学方法的多样性。