seo入门基础知识_网站设计培训班创业_搜索大全搜索引擎_现代营销手段有哪些

求解爬台阶问题

题目分析

爬台阶问题是一个经典的动态规划问题，题目给定一个高度为 $n$ 的台阶，每次可以选择向上走 1、2 或 3 个台阶，问从底部到顶部共有多少种走法。

问题描述：

• 给定台阶数 $n$，每次可以选择走 1、2 或 3 步。
• 目标是计算从底部到顶部的不同走法数量。

示例：

• 输入：n = 4
• 输出：7（不同走法：1+1+1+1, 1+1+2, 1+2+1, 2+1+1, 2+2, 1+3, 3+1）

思路分析

1. 定义状态：

   • 使用数组 $dp$，其中 $dp[i]$ 表示到达第 $i$ 个台阶的不同走法数量。

2. 初始化：

   • $dp[0]=1$，表示站在地面上（第 0 个台阶）只有一种方式：不动。
   • $dp[1]=1$，表示到达第 1 个台阶只有一种方式：一步到达。
   • $dp[2]=2$，表示到达第 2 个台阶有两种方式：1+1 或 2。
   • $dp[3]=4$，表示到达第 3 个台阶有四种方式：1+1+1, 1+2, 2+1, 3。

3. 状态转移方程：

   • 对于每个台阶 $i$，到达该台阶的方式可以通过以下三种方式：
     • 从 $i-1$ 走一步到达；
     • 从 $i-2$ 走两步到达；
     • 从 $i-3$ 走三步到达。

   所以状态转移方程为：
   $$dp[i]=dp[i-1]+dp[i-2]+dp[i-3]$$

4. 结果：

   • 最终，$dp[n]$ 即为所求的走法数量。

案例解释

以 $n=4$ 为例，具体步骤如下：

• 初始化：$dp=[1,1,2,4,0]$
• 计算 $dp[4]$：
  • $dp[4]=dp[3]+dp[2]+dp[1]=4+2+1=7$

所以，到达第 4 个台阶的不同走法有 7 种，分别是：

• 1+1+1+1
• 1+1+2
• 1+2+1
• 2+1+1
• 2+2
• 1+3
• 3+1

代码实现

python代码

import os
import sys# 请在此输入您的代码
# 小心越界访问的段错误
def init_arr(size):arr = [0] * sizearr[0] = arr[1] = 1if size > 2:arr[2] = 2if size > 3:arr[3] = 4return arrdef solve(dp):# 对于每层阶梯，可以从i-1走一步到达，从i-2走两步到达以及从i-3走三步到达for i in range(4,len(dp)):dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2] + dp[i-3]n = int(input())
dp = init_arr(n+1)
if n > 3:solve(dp)
print(dp[n])

C++代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;void solve(int*, int);int main() {int n;cin >> n;int* dp = new int(n + 1);dp[0] = dp[1] = 1;if (n > 2) {dp[2] = 2;}if (n > 3) {dp[3] = 4;}if (n > 3) {solve(dp,n);}cout<<dp[n];return 0;
}void solve(int* dp, int n) {for (int i = 4; i <= n; i++) {*(dp + i) = *(dp + i - 1) + *(dp + i - 2) + *(dp + i - 3);}
}

总结

爬台阶问题是一个典型的动态规划问题，通过定义状态和状态转移方程，可以有效地计算出从底部到顶部的不同走法数量。我们通过将每个台阶的走法数量存储在数组中，并根据前面的台阶计算当前台阶的走法数量，最终求解出所需的答案。