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4. 微分

4.2 导数的意义与性质

4.2.3 单侧导数

$f^{\prime }(x)=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$
$f_{+}^{\prime }(x_0)=\underset{\Delta x\to 0^{+}}{\lim }\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$为$f$在$x_0$的右导数。
$f_{-}^{\prime }(x_0)=\underset{\Delta x\to 0^{-}}{\lim }\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$为$f$在$x_0$的左导数。
$f$在$x_0$可导$\iff f$在$x_0$的左右导数存在且相等。
【注】$f_{+}^{\prime }(x_0)$与$f^{\prime }(x_0^{+})$不同，$f_{+}^{\prime }(x_0)$是$f$在$x_0$的右导数，而$f^{\prime }(x_0^{+})$是$f$的导函数在$x_0$的右极限。$f_{-}^{\prime }(x_0)$与$f^{\prime }(x_0^{-})$的不同也是类似的。


【例4.2.3】考察$f(x)=|x|$在$x_0=0$的左右导数。
【解】函数图像如下：

当$x>0$时，$f(x)=|x|=x,f_{+}^{\prime }(0)=\underset{\Delta x\to 0^{+}}{\lim }\frac{f(0+\Delta x)-f(0)}{\Delta x}=\frac{\Delta x}{\Delta x}=1$
当$x<0$时，$f(x)=|x|=-x,f_{-}^{\prime }(0)=\underset{\Delta x\to 0^{-}}{\lim }\frac{f(0+\Delta x)-f(0)}{\Delta x}=\frac{-\Delta x}{\Delta x}=-1$
$f_{+}^{\prime }(0)\ne f_{-}^{\prime }(0)$
则$f(x)$在$0$点不可导。


【例4.2.4】$f(x)=\{\begin{array}{cc}x\sin \frac{1}{x},& x>0\\ 0,& x⩽0\end{array}$，讨论$f(x)$在$x=0$处的可导情况。
【解】函数图像如下：

$f_{-}^{\prime }(0)=\underset{\Delta x\to 0^{-}}{\lim }\frac{f(0+\Delta x)-f(0)}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0^{-}}{\lim }\frac{0}{\Delta x}=0$（真0做分母，$\Delta x\to 0$但$\Delta x\ne 0$
$f_{+}^{\prime }(0)=\underset{\Delta x\to 0^{+}}{\lim }\frac{f(0+\Delta x)-f(0)}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0^{+}}{\lim }\frac{\Delta x\sin \frac{1}{\Delta x}}{\Delta x}$不存在
则$f$在$x_0=0$的右导数不存在。
所以$f$在$0$点不可导


【例4.2.5】$f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2+b,& x>2,\\ ax+1,& x⩽2.\end{array}$，要求确定$a,b$，使得$f$在$x_0=2$点可导。
【解】由于可导一定连续
则$f$在$x_0=2$连续，由题意可知$f$在$x_0=2$左连续
即$\underset{x\to 2^{+}}{\lim }f(x)=\underset{x\to 2^{+}}{\lim }(x^2+b)=4+b=f(2-)=2a+1$…(1)
$f_{-}^{\prime }(2)=\underset{\Delta x\to 0^{-}}{\lim }\frac{f(2+\Delta x)-f(2)}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0^{-}}{\lim }\frac{a(2+\Delta x)+1-(2a+1)}{\Delta x}=\frac{a\Delta x}{\Delta x}=a$
$f_{+}^{\prime }(2)=\underset{\Delta x\to 0^{+}}{\lim }\frac{f(2+\Delta x)-f(2)}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0^{+}}{\lim }\frac{(2+\Delta x{)}^2+b-(2a+1)}{\Delta x}=(由(1)式知)\underset{\Delta x\to 0^{+}}{\lim }\frac{(2+\Delta x{)}^2+b-(4+b)}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0^{+}}{\lim }\frac{4\Delta x+\Delta x^2}{\Delta x}=4$
要使得$f$在$x_0=2$处可导$f_{+}^{\prime }(2)=f_{-}^{\prime }(2)$
则$a=4,b=5$

4.2.4 区间可导

考虑$f(x)$在$(a,b)$上每一点可导，则称$f(x)$在$(a,b)$上可导；
若$f(x)$在$(a,b)$上每一点可导，在$x=a$有右导数，在$x=b$有左导数，则称$f(x)$在$[a,b]$上可导。
【注】椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\Rightarrow y=\frac{b}{a}\sqrt{a^2-x^2},x\in [-a,a],y$在$(-a,a)$上可导，$y^{\prime }=-\frac{b}{a}\cdot \frac{x}{\sqrt{a^2-x^2}},x\in (-a,a)$，当$x=\pm a$时，$y$不可导（算导数的极限是无穷大，一个是正无穷大，一个是负无穷大），但不是说明函数在这点没切线，其切线斜率是无穷大，它是垂直于$x$轴的切线，但是左右导数不相等，说明$y$在此点没有切线。