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3. 函数极限与连续函数

3.3 无穷小量与无穷大量的阶

3.3.1 无穷小量的阶

对于数列和函数来说，无穷小量的定义如下：

• 数列无穷小量：$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=0$，则 { x n } \{x_{n}\} {xn​}是无穷小量。
• 函数无穷小量：$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=0$，则称当$x\to x_0$时，$f(x)$是无穷小量。
  【注】$x\to x_0$可以换成$x\to x_0^{-},x\to x_0^{+},x\to +\infty ,x\to -\infty ,x\to \infty$，一共六种情况。

当$x\to x_0$，$u(x),v(x)$都是无穷小量。

• 若$\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{u(x)}{v(x)}=0$，则称当$x\to x_0$，$u(x)$是$v(x)$的高阶无穷小量，$v(x)$是$u(x)$的低阶无穷小量，记为$u(x)=o(v(x)),(x\to x_0)$；
  【例】$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-\cos x}{x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{2{\sin }^2\frac{x}{2}}{x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{2x{\sin }^2\frac{x}{2}}{4\times (\frac{x}{2}{)}^2}=0$，则当$x\to 0$时，$1-\cos x$是比$x$的高阶无穷小量，即$1-\cos x=o(x),(x\to 0)$
  【例】$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\tan x-\sin x}{x^2}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\frac{\sin x}{\cos x}-\sin x}{x^2}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{\cos x}\cdot \frac{1-\cos x}{x^2}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x\cos x}\cdot \frac{1-\cos x}{x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-\cos x}{x}=0$，则当$x\to 0$时，$\tan x-\sin x=o(x^2),(x\to 0)$
• 若存在$A>0$，当$x$在$x_0$的某一去心邻域中 { x ∣ 0 < ∣ x − x 0 ∣ < ρ } \{x|0<|x-x_{0}|<\rho\} {x∣0<∣x−x0​∣<ρ}成立$|\frac{u(x)}{v(x)}|\le A$，则称当$x\to x_0$时，$\frac{u(x)}{v(x)}$是有界量，记为$u(x)=O(v(x)),(x\to x_0)$
  【例】$x\to 0,u(x)=x\sin \frac{1}{x},v(x)=x，|\frac{u(x)}{v(x)}|=|\sin \frac{1}{x}|\le 1$，则$\frac{u(x)}{v(x)}$是有界量，即$u(x)=O(v(x)),(x\to 0)$
• 若$\exists 0<a<A<+\infty$，在$x_0$的一个去心邻域 { x ∣ 0 < ∣ x − x 0 ∣ < ρ } \{x|0<|x-x_{0}|<\rho\} {x∣0<∣x−x0​∣<ρ}中，$a\le |\frac{u(x)}{v(x)}|\le A<+\infty$，则称$u(x),v(x)$（当$x\to x_0$）是同阶无穷小量。
  若$\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{u(x)}{v(x)}=c\ne 0$，$u(x)$与$v(x)$必是同阶无穷小量。
  【例】$u(x)=x(2+\sin \frac{1}{x}),v(x)=x,(x\to 0),|\frac{u(x)}{v(x)}|=0<1\le |2+\sin \frac{1}{x}|\le 3<+\infty$，$u(x),v(x)$是同阶无穷小量。
• 若$\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{u(x)}{v(x)}=1$，则称当$x\to x_0$时，$u(x)$与$v(x)$是等价无穷小量，记为$u(x)\sim v(x),(x\to x_0)$，也记为$u(x)=v(x)+o(v(x))$.
  【例】$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1$，即$\sin x\sim x,(x\to 0)$，亦即$\sin x=x+o(x),(x\to 0)$，同理$\tan x\sim x,(x\to 0)$
  【例】$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-\cos x}{\frac{1}{2}{x}^2}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{2{\sin }^2\frac{x}{2}}{4\times \frac{1}{2}\cdot (\frac{x}{2}{)}^2}=1$，即$1-\cos x\sim \frac{1}{2}{x}^2,(x\to 0)$，亦即$1-\cos x=\frac{1}{2}{x}^2+o(x^2),(x\to 0)$（当$x\to 0$时，$1-\cos x-\frac{1}{2}{x}^2$是$x^2$的高阶无穷小）
  【例】$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\tan x-\sin x}{\frac{1}{2}{x}^3}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\frac{\sin x}{\cos x}-\sin x}{\frac{1}{2}{x}^3}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{\cos x}\cdot \frac{1-\cos x}{\frac{1}{2}{x}^3}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x\cos x}\cdot \frac{1-\cos x}{\frac{1}{2}{x}^2}=1$，即$\tan x-\sin x\sim \frac{1}{2}{x}^3,(x\to 0)$，亦即$\tan x-\sin x=\frac{1}{2}{x}^3+o(x^3)$（和上面类似）
• 若$\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{u(x)}{v(x)}=\infty$，则称当$x\to x_0$，$u(x)$是$v(x)$的低阶无穷小量，$v(x)$是$u(x)$的高阶无穷小量，记为$v(x)=o(u(x)),(x\to x_0)$；
• 特别地，若$\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }\frac{f(x)}{{\left(x-x_0\right)}^k}=c\ne 0$时（$k>0$为常数），则称$f(x)$当$x\to x_0^{+}$时是$(x-x_0)$的$k$阶无穷小量。
• 若$\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)}{x^k}=c\ne 0$时（$k>0$为常数），则称$f(x)$当$x\to x_0$时是$x$的$k$阶无穷小量。
  【注】1）取$v(x)=(x-x_0{)}^k$可知$u(x)$是几阶无穷小量；
  2）$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{-1}{\ln x}$是无穷小量。发现对任意的$\alpha >0,\frac{-1}{\ln x}$是$x^{\alpha }$低阶无穷小量，$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{\frac{-1}{\ln x}}{x^{\alpha }}=-\infty$，记$\frac{-1}{\ln x}=o(1),(x\to 0)$（比1阶无穷小量的阶还小，算不出来是几阶无穷小也可以写$o(1)$）
  【例】$x\to 0,u(x)=\sin \frac{1}{x}$，记为$u(x)=O(1),(x\to 0)$（即这个量本身有界）

3.3.2 无穷大量的阶

$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=\infty (\pm \infty )$，则称当$x\to x_0$时，$f(x)$是（正、负）无穷大量。
【注】$x\to x_0$可以换成$x\to x_0^{-},x\to x_0^{+},x\to +\infty ,x\to -\infty ,x\to \infty$，一共六种情况。
设$u(x),v(x)$，当$x\to x_0$时都是无穷大量。

• $\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{u(x)}{v(x)}=\infty$，说明当$x\to x_0$，$u(x)$是$v(x)$的高阶无穷大量，$v(x)$是$u(x)$的低阶无穷大量。
• $\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{u(x)}{v(x)}=0$，说明当$x\to x_0$，$u(x)$是$v(x)$的低阶无穷大量，$v(x)$是$u(x)$的高阶无穷大量。
  无穷大量有如下大小关系
  $n^n>>n!>>a^n(a>1)>>n^{\alpha }(\alpha >0)>>{\ln }^{\beta }n(\beta >0)$
  （剩下内容下节课再记）