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反悔贪心和例题

2024/12/23 8:49:46 来源:https://blog.csdn.net/2301_79717009/article/details/140517538  浏览:    关键词:反悔贪心和例题

反悔贪心

什么是反悔贪心:

  • 我们都知道贪心就是把局部最优解作为整体最优解,然后一步步的迭代,直到找到全局最优解的过程。但是有些时候,贪心策略可能并不是正解,局部的最优解可能不是全局的最优解。
  • 反悔贪心顾名思义就是带反悔的贪心。我们先找到局部的最优解,如果枚举到后面,发现之前选取的不是最优解,那么我们要做一个反悔操作,修改之前的局部最优解。但这个修改并不是真的改掉之前的操作,而是在之前局部最优解的基础上进行修改,达到反悔的效果
例题1:CF865D

您可以完美预测某只股票未来 N N N 天的价格。每天你要么买入一股,要么卖出一股,要么什么都不做。起初你拥有零股,当你没有任何股票时,你不能卖出股票。在 N N N 天结束时,您希望再次拥有零股,但希望拥有尽可能多的资金。

  • 正解一定是买便宜的再买贵的,遍历所有股票,如果在这张股票之前有比它便宜的,肯定是在便宜的一天买,在贵的一天卖。可以用小根堆维护前面最便宜的数字。
  • 但是有一组数据 1,2,100可以卡掉这个贪心,如果在第二天发现第一天便宜,就在第一天买,第二天卖,那么第三天就没有股票卖了。策略显然是先买 1 1 1,后卖 100 100 100
  • 这时贪心不是局部最优解,我们考虑可不可以进行反悔操作。首先在第二天时, s u m + = a [ 2 ] − a [ 1 ] sum+=a[2]-a[1] sum+=a[2]a[1],在遍历的过程中发现 100 100 100 显然更优。那么这时如果要反悔,不卖掉 a [ 2 ] a[2] a[2],去卖掉 a [ 3 ] a[3] a[3]。有 s u m + = a [ 3 ] − a [ 2 ] sum+=a[3]-a[2] sum+=a[3]a[2]。这个过程,跟买了 a [ 2 ] a[2] a[2],卖掉 a [ 3 ] a[3] a[3] 的过程很相似,唯一的区别就是在这之前已经有了一步 s u m + = a [ 2 ] − a [ 1 ] sum+=a[2]-a[1] sum+=a[2]a[1]。这时如果物品 a [ 3 ] a[3] a[3] 选取了 a [ 2 ] a[2] a[2] ,就达到了 s u m = a [ 3 ] − a [ 1 ] sum=a[3]-a[1] sum=a[3]a[1] 的效果。
  • 大概流程就是,如果某一天 a [ j ] a[j] a[j] 发现前面一天比它便宜,就在小根堆里面把 a [ i ] a[i] a[i] 弹出,更新 s u m sum sum 的值。弹出的物品就是买的股票,然后放入两次 a [ j ] a[j] a[j],第一次代表正常贪心购买 a [ j ] a[j] a[j]。第二次代表反悔操作,把 a [ i ] a[i] a[i] 卖掉,然后重新放回 a [ j ] a[j] a[j]
  • 每次反悔操作不会导致某一天进行了买入又卖出的操作,因为如果反悔,卖出的一定是当前这一天。
  • 代码如下:
    // LUOGU_RID: 166565189
    #include <bits/stdc++.h>
    using namespace std;
    #define int long long
    #define inf 0x3f3f3f3f3f3f3f3f
    const int N=1e6+10;
    const int mod=1e9+7;
    int a[N];
    signed main(){ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cout.tie(0);int n;cin>>n;priority_queue<int,vector<int>,greater<int>> q;int sum=0;for(int i=1;i<=n;i++){int x;cin>>x;if(q.empty()||q.top()>=x){q.push(x);}else{sum+=x-q.top();q.pop();q.push(x);q.push(x);}}cout<<sum<<endl;return 0;
    }
    
例题2:Luogu P1484 种树

cyrcyr 今天在种树,他在一条直线上挖了 n n n 个坑。这 n n n 个坑都可以种树,但为了保证每一棵树都有充足的养料,cyrcyr 不会在相邻的两个坑中种树。而且由于 cyrcyr 的树种不够,他至多会种 k k k 棵树。假设 cyrcyr 有某种神能力,能预知自己在某个坑种树的获利会是多少(可能为负),请你帮助他计算出他的最大获利。

  • 题意简单来说,是给定 n n n 个数,选取不能两两相邻的 k k k 个数,求最大和。
  • 我们先不考虑 k k k 个数字的限制,如果都是正数,那么我们选取的串一定是01010101010101两种情况。
  • 再考虑 k k k 很小的情况,我们发现,如果 k = 1 k=1 k=1,选取的一定是价值最大的坑,如果 k = 2 k=2 k=2 ,设最大数为 x x x, 选取的要么是 x x x 和扣掉 x x x 相邻两个数剩下区间的最大数,要么就是选取 x x x 相邻两个数,不会出现只选取相邻一个数的情况,因为这样选取 x x x, 一定比选相邻数更优。
  • 加上 k k k 的限制之后,我们选取的 01 01 01 串应该变成什么样呢?它一定是某些 01 01 01 交替串和一些 0 0 0 的连接
  • 考虑反悔贪心,如果选取串 1 1 1 ,向后遍历,如果 101 101 101 1 1 1 更优,就应该把101换成1,同理,如果 10101 10101 10101 101 101 101 更优,也要把它放进去。推一遍式子:
  • v [ 1 ] = a [ 3 ] , v [ 101 ] = a [ 2 ] + a [ 4 ] , v [ 10101 ] = a [ 1 ] + a [ 3 ] + a [ 5 ] v[1]=a[3],v[101]=a[2]+a[4],v[10101]=a[1]+a[3]+a[5] v[1]=a[3],v[101]=a[2]+a[4],v[10101]=a[1]+a[3]+a[5]
  • v [ 101 ] = v [ 1 ] + a [ 2 ] + a [ 4 ] − a [ 3 ] , v [ 10101 ] = v [ 101 ] + a [ 1 ] + a [ 5 ] − ( a [ 2 ] + a [ 4 ] − a [ 3 ] ) v[101]=v[1]+a[2]+a[4]-a[3],v[10101]=v[101]+a[1]+a[5]-(a[2]+a[4]-a[3]) v[101]=v[1]+a[2]+a[4]a[3],v[10101]=v[101]+a[1]+a[5](a[2]+a[4]a[3])
  • 可以发现,如果将 $ f_子=a[l]+a[r]-v[子串] $ 放入,那么$ v[父串]=v[子串]+f_子 $ 所以每次只需要把 $f_子 放入,就可以反悔。
  • 用双向链表维护 l l l r r r,由于每次反悔只增加一个,跟选取元素差不多。跟例题1类似。大根堆维护就行了
  • 代码如下:
    #include <bits/stdc++.h>
    using namespace std;
    #define int long long
    #define inf 0x3f3f3f3f3f3f3f3f
    #define pii pair<int, int>
    #define endl '\n'
    const int N=3e5+10;
    const int mod=1e9+7;
    int a[N],vis[N];
    map<int, int> l,r;
    priority_queue<pii> q;
    signed main(){ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cout.tie(0);int n,k;cin>>n>>k;for(int i=1;i<=n;i++){cin>>a[i];l[i]=i-1;r[i]=i+1;q.push(make_pair(a[i],i));}int sum=0;for(int i=1;i<=k;i++){while(!q.empty()&&vis[q.top().second]) q.pop();pii now=q.top();q.pop();if(now.first<=0) break;sum+=now.first;vis[l[now.second]]=vis[r[now.second]]=1;now.first=a[now.second]=a[l[now.second]]+a[r[now.second]]-now.first;q.push(now);l[now.second]=l[l[now.second]];r[now.second]=r[r[now.second]];r[l[now.second]]=l[r[now.second]]=now.second;}cout<<sum<<endl;return 0;
    }
    

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