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什么是跳跃列表？

跳跃列表是一种概率性的数据结构，旨在提高链表的搜索、插入和删除效率。它通过在普通链表的基础上增加多个层次，以实现更快的访问速度。跳跃列表的设计灵感来源于跳跃图（Skip Graph）和多层索引的概念，适合需要频繁进行动态数据操作的场景。

跳跃列表的基本结构

跳跃列表由多个层次的链表组成。最底层的链表包含所有的元素，而上层的链表则通过指针跳过一些节点，从而加快搜索速度。每个节点不仅存储自己的值，还持有一个指针数组，指向同层的下一个节点。

结构示例

头节点：通常存储负无穷，方便搜索。
节点：每个节点包含一个值和多个指针，指向相同或更高层的节点。

操作实现

1. 节点类

首先定义节点类，包含节点的值和指针数组。

class Node:def __init__(self, value, level):self.value = valueself.forward = [None] * (level + 1)  # 指针数组

2. 跳跃列表类

实现跳跃列表类，包含插入、删除和搜索的方法。

import randomclass SkipList:def __init__(self, max_level):self.max_level = max_levelself.header = Node(float('-inf'), max_level)  # 头节点self.level = 0  # 当前层数def random_level(self):level = 0while random.random() < 0.5 and level < self.max_level:level += 1return leveldef insert(self, value):update = [None] * (self.max_level + 1)  # 保存前驱节点current = self.headerfor i in range(self.level, -1, -1):while current.forward[i] and current.forward[i].value < value:current = current.forward[i]update[i] = currentcurrent = current.forward[0]  # 最底层的下一个节点if current is None or current.value != value:new_level = self.random_level()  # 随机层数if new_level > self.level:for i in range(self.level + 1, new_level + 1):update[i] = self.headerself.level = new_levelnew_node = Node(value, new_level)  # 新节点for i in range(new_level + 1):new_node.forward[i] = update[i].forward[i]update[i].forward[i] = new_nodedef delete(self, value):update = [None] * (self.max_level + 1)current = self.headerfor i in range(self.level, -1, -1):while current.forward[i] and current.forward[i].value < value:current = current.forward[i]update[i] = currentcurrent = current.forward[0]if current and current.value == value:for i in range(self.level + 1):if update[i].forward[i] != current:breakupdate[i].forward[i] = current.forward[i]while self.level > 0 and self.header.forward[self.level] is None:self.level -= 1def search(self, value):current = self.headerfor i in range(self.level, -1, -1):while current.forward[i] and current.forward[i].value < value:current = current.forward[i]current = current.forward[0]return current is not None and current.value == value

示例使用

skip_list = SkipList(max_level=4)
skip_list.insert(3)
skip_list.insert(6)
skip_list.insert(7)
skip_list.insert(9)
skip_list.insert(12)
skip_list.insert(19)print(skip_list.search(7))  # True
print(skip_list.search(15))  # Falseskip_list.delete(3)
print(skip_list.search(3))  # False

时间复杂度分析

搜索 (Search): 平均时间复杂度为 O(log n)，因其可以在多层中快速跳跃。
插入 (Insert): 平均时间复杂度也是 O(log n)，通过随机选择层数实现高效插入。
删除 (Delete): 平均时间复杂度同样为 O(log n)。

最坏情况

在最坏情况下，所有元素都在同一层，此时时间复杂度为 O(n)。不过这种情况的概率较低，跳跃列表在实际应用中通常表现良好。

总结

跳跃列表是一种高效的概率性数据结构，适合动态数据的处理。通过引入随机性，跳跃列表在搜索、插入和删除操作中都能实现平均 O(log n) 的时间复杂度，成为解决许多实际问题的优秀选择。

如果你对跳跃列表有更多的疑问或想要进一步探讨的内容，欢迎在评论区留言！