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1.二叉搜索树的概念

二叉搜索树又称搜索二叉树，它或者是一棵空树，或者是具有以下性质的⼆叉树：

1. 若它的左子树不为空，则左子树上所有结点的值都小于等于根结点的值。

2. 若它的右子树不为空，则右子树上所有结点的值都大于等于根结点的值。

3. 它的左右子树也分别为⼆叉搜索树。

⼆叉搜索树中可以支持插入相等的值，也可以不支持插入相等的值，具体看使用场景定义，map / set / multimap / multiset 系列容器底层就是⼆叉搜索树，其中map/set不支持插入相等
值，multimap/multiset支持插入相等值。

2.二叉搜索树的性能分析

最优情况下，二叉搜索树为完全二叉树(或者接近完全⼆叉树)，其高度为：O(logN)
最差情况下，二叉搜索树退化为单支树(或者类似单支)，其高度为：O(N)
所以综合而言二叉搜索树增删查改时间复杂度为：O(N)

那么这样的效率显然是无法满足我们需求的，所以有了⼆叉搜索树的变形，平衡⼆叉搜索树。
平衡⼆叉搜索树：AVL树和红黑树
平衡多叉搜索树：B树系列（B+树…）

它们适用于我们在内存中存储和搜索数据，另外需要说明的是，⼆分查找也可以实现O(logN) 级别的查找效率，但是⼆分查找有两大缺陷：

1. 需要存储在支持下标随机访问的结构中，并且有序。
2. 插入和删除数据效率很低，因为存储在下标随机访问的结构中，插入和删除数据一般需要挪动数据。

这里也就体现出了平衡⼆叉搜索树的价值。

3.二叉搜索树的实现

1.二叉搜索树的结构

1. 准备树的节点（存放两个自己类型的指针找到左右孩子 + 保存某个类型的数据）
2. 准备二叉搜索树：存放根节点。
3. 这里实现的是不能含有重复的数据。

namespace xzy
{template<class K>struct BSNode{BSNode<K>* _left;BSNode<K>* _right;K _key;BSNode(const K& key = K()):_left(nullptr),_right(nullptr),_key(key){}};template<class K>class BSTree{public://以下两种功能一样：都是取别名//typedef BSNode<K> Node;using Node = BSNode<K>;private:Node* _root = nullptr; //给出缺省值};
}

2.二叉搜索树的插入

插入的具体过程如下：

1. 树为空：则直接新增结点，赋值给root指针。
2. 树不空：按⼆叉搜索树性质，插入值比当前结点大往右走，插入值比当前结点小往左走，找到空位置，插入新结点。
3. 如果支持插入相等的值，插入值跟当前结点相等的值可以往右走，也可以往左走，找到空位置，插入新结点。（要注意的是要保持逻辑⼀致性，插入相等的值不要一会往右走，一会往左走）

bool Insert(const K& key)
{//若树为空：将要插入的节点赋值给根节点if (_root == nullptr){_root = new Node(key);return true;}//若树不为空：查找要插入的位置 + 它的父亲节点Node* parent = nullptr;Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_key > key){parent = cur;cur = cur->_left;}else if (cur->_key < key){parent = cur;cur = cur->_right;}else{return false; //相等，则无法插入}}//找到了要插入的位置 + 它的父亲节点; 然后判断左右孩子Node* newnode = new Node(key);if (parent->_key > key){parent->_left = newnode;}else if (parent->_key < key){parent->_right = newnode;}return true;
}

3.二叉搜索树的查找

1. 从根开始比较，查找x，x比根的值大则往右边走查找，x比根值小则往左边走查找。

2. 最多查找高度次，走到到空，还没找到，这个值不存在。

3. 如果不支持插入相等的值，找到x即可返回。

4. 如果支持插入相等的值，意味着有多个x存在，一般要求查找中序的第一个x。如下图，查找3，要找到1的右孩子的那个3返回。

//循环
bool Find(const K& key)
{Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_key < key){cur = cur->_right;}else if (cur->_key > key){cur = cur->_left;}else{return true; //找到了}}return false; //未找到
}

//递归
public:bool Find(const K& key){return _Find(_root, key);}private:bool _Find(Node* _root, const K& key){if (_root == nullptr)return false;bool ret1 = false;bool ret2 = false;if (_root->_key == key){return true;}else if (_root->_key < key){ret1 = Find(_root->_right, key);}else{ret2 = Find(_root->_left, key);}return ret1 || ret2;}

4.二叉搜索树的删除

首先查找元素是否在⼆叉搜索树中，如果不存在，则返回false。如果查找元素存在则分以下四种情况分别处理：

1. 要删除结点N左右孩子均为空。
2. 要删除的结点N左孩子为空，右孩子结点不为空。
3. 要删除的结点N右孩子为空，左孩子结点不为空。
4. 要删除的结点N左右孩子结点均不为空。

对应以上四种情况的解决方案：

1. 把N结点的父亲对应孩子指针指向空，直接删除N结点（情况1可以当成情况2或者情况3处理，效果是一样的）
2. 把N结点的父亲对应孩子指针指向N的右孩子，直接删除N结点。
3. 把N结点的父亲对应孩子指针指向N的左孩子，直接删除N结点。
4. 无法直接删除N结点，因为N的两个孩子无处安放，可以用替换法删除。找N左子树的值最大结点R（最右节点）或者N右子树的值最小结点R（最左节点）替代N，因为这两个结点中任意一个，放到N的位置，都满足二叉搜索树的规则。替代N的意思就是N和R的两个结点的值交换，转而变成删除R结点，R结点又符合情况2或情况3，可以直接删除。

bool Erase(const K& key)
{Node* parent = nullptr;Node* cur = _root;//找要删除的节点while (cur){if (cur->_key > key){parent = cur;cur = cur->_left;}else if (cur->_key < key){parent = cur;cur = cur->_right;}else{//找到了，开始删除操作：删除cur，cur的父亲节点是parent//1.删除节点的左孩子为空if (cur->_left == nullptr){if (cur == _root){_root = cur->_right;}else{if (parent->_left == cur){parent->_left = cur->_right;}else{parent->_right = cur->_right;}}delete cur;}//2.删除节点的右孩子为空else if (cur->_right == nullptr){if (cur == _root){_root = cur->_left;}else{if (parent->_left == cur){parent->_left = cur->_left;}else{parent->_right = cur->_left;}}delete cur;}//3.删除节点的左孩子和右孩子都为空else{//用要删除节点的左子树中最大值的节点替换要删除的节点（值覆盖）//当然也可以使用右子树中最小值的节点Node* replace = cur->_left;Node* replaceParent = cur;while (replace->_right){replaceParent = replace;replace = replace->_right;}cur->_key = replace->_key; //值覆盖//要删除的replace节点的孩子最多只有一个，复用情况1/2if (replaceParent->_left == replace){replaceParent->_left = replace->_left;}else{replaceParent->_right = replace->_left;}delete replace;}return true;}}return false; //没有要删除的数据
}

5.二叉搜索树的中序遍历

1. 由于二叉搜索树的性质，左子树小于根，根又小于右子树，那么它的中序遍历就可以得到一个有序的数据
2. 但是由于要传入根节点，而外面是访问不到根节点的，可以封装另一个接口，如下：

public:void InOrder(){_InOrder(_root);cout << endl;}private:void _InOrder(Node* _root){if (_root == nullptr)return;_InOrder(_root->_left);cout << _root->_key << " ";_InOrder(_root->_right);}

int main()
{vector<int> v = { 8, 3, 1, 10, 6, 4, 7, 14, 13 };xzy::BSTree<int> t;for (auto& e : v){t.Insert(e);}t.InOrder(); //输出: 1 3 4 6 7 8 10 13 14return 0;
}

6.默认构造

//强制生成默认构造
BSTree() = default;

7.拷贝构造

前序遍历构造二叉搜索树

public:BSTree(const BSTree& t){_root = Copy(t._root);}private:Node* Copy(Node* root){if (root == nullptr)return nullptr;Node* newRoot = new Node(root->_key);newRoot->_left = Copy(root->_left);newRoot->_right = Copy(root->_right);return newRoot;}

8.赋值重载

现代写法：利用传值传参+拷贝构造

BSTree& operator=(BSTree tmp)
{swap(_root, tmp._root);return *this;
}

9.析构函数

后序遍历析构二叉搜索树

public:~BSTree(){Destory(_root);}private:void Destory(Node* _root){if (_root == nullptr)return;Destory(_root->_left);Destory(_root->_right);delete _root;}

4.二叉搜索树key和key/value使用场景

1.key搜索场景（set容器）

只有key作为关键码，结构中只需要存储key即可，关键码即为需要搜索到的值，搜索场景只需要判断key在不在。key的搜索场景实现的二叉树搜索树支持增删查，但是不支持修改，修改key破坏搜索树结构了。

场景1：小区无人值守车库，小区车库买了车位的业主车才能进小区，那么物业会把买了车位的业主的车牌号录入后台系统，车辆进入时扫描车牌在不在系统中，在则抬杆，不在则提示非本小区车辆，无法进入。

场景2：检查一篇英文文章单词拼写是否正确，将词库中所有单词放入二叉搜索树，读取文章中的单词，查找是否在⼆叉搜索树中，不在则波浪线标红提示。

2.key/value搜索场景（map容器）

每一个关键码key，都有与之对应的值value，value可以任意类型对象。树的结构中（结点）除了需要存储key还要存储对应的value，增/删/查还是以key为关键字走二叉搜索树的规则进行比较，可以快速查找到key对应的value。key/value的搜索场景实现的⼆叉树搜索树支持修改，但是不支持修改key，修改key破坏搜索树结构了，可以修改value。

场景1：简单中英互译字典，树的结构中（结点）存储key（英文）和vlaue（中文），搜索时输入英文，则同时查找到了英文对应的中文。

场景2：商场无人值守车库，入口进场时扫描车牌，记录车牌和入场时间，出口离场时，扫描车牌，查找入场时间，用当前时间 - 入场时间计算出停车时长，计算出停车费用，缴费后抬杆，车辆离场。

场景3：统计一篇文章中单词出现的次数，读取一个单词，查找单词是否存在，不存在这个说明第一次出现（单词，1），单词存在，则++单词对应的次数。

5.key二叉搜索树代码

namespace key
{template<class K>struct BSNode{BSNode<K>* _left;BSNode<K>* _right;K _key;BSNode(const K& key = K()):_left(nullptr),_right(nullptr),_key(key){}};template<class K>class BSTree{public://以下两种功能一样：都是取别名//typedef BSNode<K> Node;using Node = BSNode<K>;bool Insert(const K& key){//若树为空：将要插入的节点赋值给根节点if (_root == nullptr){_root = new Node(key);return true;}//若树不为空：查找要插入的位置 + 它的父亲节点Node* parent = nullptr;Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_key > key){parent = cur;cur = cur->_left;}else if (cur->_key < key){parent = cur;cur = cur->_right;}else{return false; //相等，则无法插入}}//找到了要插入的位置 + 它的父亲节点; 然后判断左右孩子Node* newnode = new Node(key);if (parent->_key > key){parent->_left = newnode;}else if (parent->_key < key){parent->_right = newnode;}return true;}bool Find(const K& key){Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_key < key){cur = cur->_right;}else if (cur->_key > key){cur = cur->_left;}else{return true;}}return false;}bool Erase(const K& key){Node* parent = nullptr;Node* cur = _root;//找要删除的节点while (cur){if (cur->_key > key){parent = cur;cur = cur->_left;}else if (cur->_key < key){parent = cur;cur = cur->_right;}else{//找到了，开始删除操作：删除cur，cur的父亲节点是parent//1.删除节点的左孩子为空if (cur->_left == nullptr){if (cur == _root){_root = cur->_right;}else{if (parent->_left == cur){parent->_left = cur->_right;}else{parent->_right = cur->_right;}}delete cur;}//2.删除节点的右孩子为空else if (cur->_right == nullptr){if (cur == _root){_root = cur->_left;}else{if (parent->_left == cur){parent->_left = cur->_left;}else{parent->_right = cur->_left;}}delete cur;}//3.删除节点的左孩子和右孩子都为空else{//用要删除节点的左子树中最大值的节点替换要删除的节点（值覆盖）//当然也可以使用右子树中最小值的节点Node* replace = cur->_left;Node* replaceParent = cur;while (replace->_right){replaceParent = replace;replace = replace->_right;}cur->_key = replace->_key; //值覆盖//要删除的replace节点的孩子最多只有一个，复用情况1/2if (replaceParent->_left == replace){replaceParent->_left = replace->_left;}else{replaceParent->_right = replace->_left;}delete replace;}return true;}}return false; //没有要删除的数据}void InOrder(){_InOrder(_root);cout << endl;}private:void _InOrder(Node* _root){if (_root == nullptr)return;_InOrder(_root->_left);cout << _root->_key << " ";_InOrder(_root->_right);}private:Node* _root = nullptr;};
}int main()
{vector<int> v = { 8, 3, 1, 10, 6, 4, 7, 14, 13 };key::BSTree<int> t;for (auto& e : v){t.Insert(e);}for (auto& e : v){t.Erase(e);t.InOrder();}return 0;
}

6.key/value二叉搜索树代码

namespace key_value
{template<class K, class V>struct BSNode{BSNode<K, V>* _left;BSNode<K, V>* _right;K _key;V _value;BSNode(const K& key = K(), const V& value = V()):_left(nullptr), _right(nullptr), _key(key),_value(value){}};template<class K, class V>class BSTree{public://以下两种功能一样：都是取别名//typedef BSNode<K> Node;using Node = BSNode<K, V>;bool Insert(const K& key, const V& value){//若树为空：将要插入的节点赋值给根节点if (_root == nullptr){_root = new Node(key, value);return true;}//若树不为空：查找要插入的位置 + 它的父亲节点Node* parent = nullptr;Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_key > key){parent = cur;cur = cur->_left;}else if (cur->_key < key){parent = cur;cur = cur->_right;}else{return false; //相等，则无法插入}}//找到了要插入的位置 + 它的父亲节点; 然后判断左右孩子Node* newnode = new Node(key, value);if (parent->_key > key){parent->_left = newnode;}else if (parent->_key < key){parent->_right = newnode;}return true;}Node* Find(const K& key){Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_key < key){cur = cur->_right;}else if (cur->_key > key){cur = cur->_left;}else{return cur;}}return nullptr;}bool Erase(const K& key){Node* parent = nullptr;Node* cur = _root;//找要删除的节点while (cur){if (cur->_key > key){parent = cur;cur = cur->_left;}else if (cur->_key < key){parent = cur;cur = cur->_right;}else{//找到了，开始删除操作：删除cur，cur的父亲节点是parent//1.删除节点的左孩子为空if (cur->_left == nullptr){if (cur == _root){_root = cur->_right;}else{if (parent->_left == cur){parent->_left = cur->_right;}else{parent->_right = cur->_right;}}delete cur;}//2.删除节点的右孩子为空else if (cur->_right == nullptr){if (cur == _root){_root = cur->_left;}else{if (parent->_left == cur){parent->_left = cur->_left;}else{parent->_right = cur->_left;}}delete cur;}//3.删除节点的左孩子和右孩子都为空else{//用要删除节点的左子树中最大值的节点替换要删除的节点（值覆盖）Node* replace = cur->_left;Node* replaceParent = cur;while (replace->_right){replaceParent = replace;replace = replace->_right;}cur->_key = replace->_key; //值覆盖//要删除的replace节点的孩子最多只有一个，复用情况1/2if (replaceParent->_left == replace){replaceParent->_left = replace->_left;}else{replaceParent->_right = replace->_left;}delete replace;}return true;}}return false; //没有要删除的数据}void InOrder(){_InOrder(_root);cout << endl;}private:void _InOrder(Node* _root){if (_root == nullptr)return;_InOrder(_root->_left);cout << _root->_key << " " << _root->_value << endl;_InOrder(_root->_right);}private:Node* _root = nullptr;};
}int test01()
{key_value::BSTree<string, string> dict;dict.Insert("left", "左边");dict.Insert("right", "右边");dict.Insert("insert", "插入");dict.Insert("string", "字符串");string str;while (cin >> str){auto ret = dict.Find(str);if (ret){cout << "->" << ret->_value << endl;}else{cout << "无此单词，请重新输入" << endl;}}return 0;
}int test02()
{string arr[] = { "苹果", "西瓜", "苹果", "西瓜", "苹果", "苹果", "西瓜",
"苹果", "香蕉", "苹果", "香蕉" };key_value::BSTree<string, int> countTree;for (const auto& str : arr){//先查找水果在不在搜索树中 //1、不在，说明水果第一次出现，则插入<水果, 1> //2、在，则查找到的结点中水果对应的次数++ //BSTreeNode<string, int>* ret = countTree.Find(str);auto ret = countTree.Find(str);if (ret == NULL){countTree.Insert(str, 1);}else{ret->_value++;}}countTree.InOrder();return 0;
}int main()
{test01();test02();return 0;
}

7.经典二叉树OJ题