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定理 6 指出，如果 $\mathcal{F}$ 是 $\Omega$ 中的一个集代数，那么由 $\mathcal{F}$ 生成的最小的 $\sigma$-代数 $\mathfrak{M}(\mathcal{F})$ 等于 $\sigma (\mathcal{F})$，即 $\mathcal{F}$ 的最小 $\sigma$-代数。此外，任何包含 $\mathcal{F}$ 的单调类必然包含 $\sigma (\mathcal{F})$。

证明：

1. 定义和初步观察：

   • 集代数 $\mathcal{F}$ 意味着 $\mathcal{F}$ 是 $\Omega$ 的一个子集族，并且对于任意的 $A,B\in \mathcal{F}$，有 $A\cup B,A\cap B\in \mathcal{F}$，并且 $\Omega \in \mathcal{F}$。
   • $\sigma (\mathcal{F})$ 表示由 $\mathcal{F}$ 生成的最小的 $\sigma$-代数，即包含 $\mathcal{F}$ 并且对于任意的 $A_1,A_2,\dots \in \mathcal{F}$，有 ${\bigcup }_{i=1}^{\infty }{A}_i\in \sigma (\mathcal{F})$ 和 $A^c\in \sigma (\mathcal{F})$（其中 $A^c$ 表示 $A$ 的补集）。

2. $\mathcal{F}\subseteq \sigma (\mathcal{F})$：

   • 显然，$\mathcal{F}$ 中的每个集合都属于 $\sigma (\mathcal{F})$，因为 $\sigma (\mathcal{F})$ 是包含 $\mathcal{F}$ 的最小 $\sigma$-代数。

3. $\sigma (\mathcal{F})$ 是 $\sigma$-代数：

   • $\sigma (\mathcal{F})$ 包含 $\Omega$。
   • 对于任意的 $A\in \sigma (\mathcal{F})$，$A^c\in \sigma (\mathcal{F})$。
   • 对于任意的可数序列 $A_1,A_2,\dots \in \sigma (\mathcal{F})$，${\bigcup }_{i=1}^{\infty }{A}_i\in \sigma (\mathcal{F})$。

4. $\mathfrak{M}(\mathcal{F})\subseteq \sigma (\mathcal{F})$：

   • $\mathfrak{M}(\mathcal{F})$ 是包含 $\mathcal{F}$ 的最小的 $\sigma$-代数。
   • 由于 $\sigma (\mathcal{F})$ 也是包含 $\mathcal{F}$ 的 $\sigma$-代数，并且 $\mathfrak{M}(\mathcal{F})$ 是最小的，所以 $\mathfrak{M}(\mathcal{F})\subseteq \sigma (\mathcal{F})$。

5. $\sigma (\mathcal{F})\subseteq \mathfrak{M}(\mathcal{F})$：

   • 我们需要证明 $\sigma (\mathcal{F})$ 满足 $\mathfrak{M}(\mathcal{F})$ 的定义。
   • $\sigma (\mathcal{F})$ 包含 $\mathcal{F}$。
   • $\sigma (\mathcal{F})$ 是 $\sigma$-代数，所以它满足 $\mathfrak{M}(\mathcal{F})$ 的要求。
   • 由于 $\mathfrak{M}(\mathcal{F})$ 是最小的，所以 $\sigma (\mathcal{F})\subseteq \mathfrak{M}(\mathcal{F})$。

6. 结论：

   • 由于 $\mathfrak{M}(\mathcal{F})\subseteq \sigma (\mathcal{F})$ 且 $\sigma (\mathcal{F})\subseteq \mathfrak{M}(\mathcal{F})$，我们可以得出 $\mathfrak{M}(\mathcal{F})=\sigma (\mathcal{F})$。

7. 包含 $\mathcal{F}$ 的任一单调类必包含 $\sigma (\mathcal{F})$：

   • 单调类是指如果一个集合族中的集合属于该类，那么它的任意子集也属于该类。
   • 由于 $\sigma (\mathcal{F})$ 是由 $\mathcal{F}$ 生成的，并且包含 $\mathcal{F}$ 的所有可数并集和补集，任何包含 $\mathcal{F}$ 的单调类必须也包含这些并集和补集，因此必须包含 $\sigma (\mathcal{F})$。

这就完成了定理的证明。