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假设$\Omega$是${\mathbb{R}}^d$中连通的开集使得其补集${\mathbb{R}}^d\setminus \Omega$包含一个开的锥$C$。假设$u:\overline{\Omega }\to \mathbb{R}$是有界的连续函数，在$\Omega$中是$C^2$的，并且满足

$\{\begin{array}{ll}\Delta u(x)\ge 0& ,x\in \Omega ,\\ u(x)\le 0& ,x\in \partial \Omega .\end{array}$

证明

$u(x)\le 0,\forall x\in \Omega .$

这里开的锥$C$指的是存在顶点$x_0$，非零方向$v\in {\mathbb{R}}^d$以及$\theta \in (0,\frac{\pi }{2})$使得

C = { x : ∣ x − x 0 ∣ ∣ v ∣ cos ⁡ θ < v ⋅ ( x − x 0 ) } C=\{x:|x-x_0| |v|\cos\theta< v\cdot(x-x_0)\} C={x:∣x−x0​∣∣v∣cosθ<v⋅(x−x0​)}。

证：

1.假设与条件:

• $\Omega$是${\mathbb{R}}^d$ 中的一个连通开集，其补集${\mathbb{R}}^d\setminus \Omega$包含一个开锥$C$。

• 函数$u:\overline{\Omega }\to \mathbb{R}$是有界的连续函数，并且在$\Omega$ 中是$C^2$ 的，满足

$$\{\begin{array}{ll}\Delta u(x)\ge 0& ,x\in \Omega ,\\ u(x)\le 0& ,x\in \partial \Omega \end{array}$$。

2.目标:证明$u(x)\le 0$ 对所有$x\in \Omega$成立。

3.利用最大值原理:

• 根据已知条件，$u$是有界连续函数，因此在$\overline{\Omega }$上可以取得最大值。设$u$ 在$\overline{\Omega }$上的最大值为$M$，即存在$x_0\in \overline{\Omega }$使得$u(x_0)=M$。

• 根据条件，$u(x)\le 0$ 对所有$x\in \partial \Omega$成立，因此，$M\le 0$。

• 假设$M>O$,我们将导出矛盾。注意到$x_0$不能位于$\partial \Omega$，因为在$\partial \Omega$上$u(x)\le 0$。因此，$x_0$必须在$\Omega$的内部，即$x_0\in \Omega$。

4.利用次调和函数性质:

• 由于$\Delta u(x)\ge 0$，$u$是次调和函数。根据次调和函数的性质，如果$u$在$\Omega$内部的某点$x_0$ 取到局部最大值，则$u$在$x_0$ 附近是一个常数。

• 因此，$u$ 在包含 $x_0$ 的某个邻域 $B(x_0,r)\subset \Omega$上是常数，即$u(x)=M$对所有$x\in B(x_0,r)$成立。

5.利用开锥的性质:

• 由于 ${\mathbb{R}}^d\setminus \Omega$包含一个开锥$C$，对于锥$C$ 中的每一个点$x_1\in C\cap \Omega$，存在一条从 $x_1$ 到 $\partial \Omega$的路径，这条路径上的点$x$都满足 $u(x)\le 0$。

• 因为$u$在$\Omega$ 内的某个邻域 $B(x_0,r)$上是常数 $M>0$，所以必须存在点$x_1\in B(x_0,r)\cap (\Omega \cap C)$ 使得$u(x_1)=M$。然而，这与$u(x)\le 0$ 对所有$x\in \partial \Omega$成立矛盾，因为$x_1$的路径会穿过$\partial \Omega$，并且在路径上的某些点$u$会小于$0$。

6.矛盾:

• 从而，假设$M>0$不成立，即$M\le 0$。这意味着$u(x)\le 0$ 对所有 $x\in \Omega$成立。

综上，我们证明了$u(x)\le 0$ 对所有$x\in \Omega$成立。