310. 最小高度树 - 力扣（LeetCode）
分析：n个顶点的无环无向连通图，有n-1条边。
1）任意两点有且只有一条路径
2）路径最远的两顶点必为叶子节点
且根据证明可以得出以下两个性质：
1.最小高度树的根会出现在最长路径的中点处，即最小高度：h=upper(maxdist/2)
2.最小高度树的根一定经过最长路径
设 x，y 为两个路径最远的两个顶点，记作：dist[x][y]，maxdist=dist[x][y]
证明1：
反证法，设h<upper(maxdist/2)（即 h<=upper(dist[x][y]/2)-1，因为距离的增长是散点的）， 顶点 z 为最小高度树的根
1）z 经过 x，y
dist[x][z] <= h，dist[z][y] <= h（dist[x][y]为偶数时相等，为奇数：一个相等，另一差1）
dist[x][y] = dist[x][z] + dist[z][y] <= 2*h <= 2*upper(dist[x]/[y]/2) - 2
当dist[x][y]为奇数时，2*upper(dist[x]/[y]/2) - 2 = dist[x][y] - 1 < dist[x][y]，矛盾
当dist[x][y]为偶数时，2*upper(dist[x]/[y]/2) - 2 = dist[x][y] - 2 < dist[x][y]，矛盾
2）z 不经过 x，y
z ... ... a ... ... x , z ... ... a ... ... y
因为 x，y 必为叶子节点，那么它们必有公共的祖先，根据最开始的分析，任意两点有且只有一条路径，那么 z 到 x 和 z 到 y 必定经过了至少一个顶点，设这个顶点为 a。
dist[z][x] = dist[z][a] + dist[a][x] <=h
dist[z][y] = dist[z][a] + dist[a][y] <=h （同（1）分析）
注：dist[z][a]>=1，因为是散点的，且 z 不经过 x，y
dist[x][y] = dist[x][a] + dist[a][y] = dist[a][x]（无向图，且路径唯一） + dist[a][y]
= dist[z][x] + dist[z][y] - 2*dist[z][a] <= 2*h - 2*dist[z][a]
< 2*upper(dist[x][y]/2) - 2*dist[z][a] < dist[x][y]dist[x][y]为奇数，2*upper(dist[x]/[y]/2) - 2*dist[z][a] <= dist[x][y] - 1 < dist[x][y]，矛盾
dist[x][y]为偶数，2*upper(dist[x]/[y]/2) - 2*dist[z][a] <= dist[x][y] - 2 < dist[x][y]，矛盾
因此，h=upper(dist[x][y]/2)。
证明2：
假设 z 不经过 x，y，其实就转化成了证明1的第二种情况了。
dist[x][y] = dist[x][a] + dist[a][y] = dist[a][x]（无向图，且路径唯一） + dist[a][y]
= dist[z][x] + dist[z][y] - 2*dist[z][a] <= 2*h - 2*dist[z][a]
= 2*upper(dist[x][y]/2) - 2*dist[z][a] < dist[x][y]核心变化就是 h=upper(dist[x][y]/2)，2*h - 2*dist[z][a] = 2*upper(dist[x][y]/2) - 2*dist[z][a] < dist[x][y]，由原来的<=改成了等于，但还是小于dist[x][y]，矛盾的。
因此，最小高度树的根必定经过最长路径的两顶点。
代码实现实现思路：
由于无环无向连通图比较稀疏，且用不到权值位，只是要表示点和点之间的连接关系，为了效率，节省空间以及方便释放资源角度考虑，采用动态二维数组实现的邻接表matrix_list，matrix_list[x][y]位置存放终点下标。
采用广度优先遍历，定义数组pPath，将记录每个顶点的父路径，且遍历时以传参顶点为根进行遍历，将该顶点的父路径置为-1，还要记录下最外层的节点，这就是相对于当前节点最远的节点。
获取两次最远节点，第一次以下标0顶点为根获取，第二次以第一次获取的结果为根获取，再根据pPath记录的父路径迭代确定高度，若高度为奇数，那么有两个根都为最小高度树，若高度为偶数，那么只有一个根为最小高度树。
代码实现如下：
class Solution { public:int getLongestIndex(const int vi, const vector<vector<int>>& matrix_list,vector<int>& pPath) {queue<int> q;vector<bool> visited(matrix_list.size(), false);q.push(vi);int index = -1;while (!q.empty()) {int curi = q.front();q.pop();index = curi;visited[curi] = true;for (int i = 0; i < matrix_list[curi].size(); i++) {if (visited[matrix_list[curi][i]] == false) {q.push(matrix_list[curi][i]);pPath[matrix_list[curi][i]] = curi;}}}pPath[vi] = -1;return index;}vector<int> findMinHeightTrees(int n, vector<vector<int>>& edges) {vector<vector<int>> matrix_list(n, vector<int>());for (size_t i = 0; i < edges.size(); i++) {matrix_list[edges[i][0]].emplace_back(edges[i][1]);matrix_list[edges[i][1]].emplace_back(edges[i][0]);}vector<int> pPath(n, -1);int x = getLongestIndex(0, matrix_list, pPath);int y = getLongestIndex(x, matrix_list, pPath);vector<int> longestPath;while (pPath[y] != -1) {longestPath.emplace_back(y);y = pPath[y];}//边数int length = longestPath.size();//点数longestPath.emplace_back(y);if(length%2==1){return {longestPath[length>>1],longestPath[(length>>1)+1]};}elsereturn {longestPath[length>>1]};} };
