题目：（2022）
题目描述（13届 C&C++ B组A题）
解题思路：
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定义状态：
使用一个二维数组dp[j][k]来表示将数字k拆分为j个不同正整数的方案数。 -
初始化：
初始状态设定为dp[0][0] = 1，表示将数字 0 拆分为 0 个数有一种方式（即不选择任何数）。 -
状态转移方程：
我们逐步遍历 1 到 2022 的所有正整数i，并利用j表示当前所需的数字个数。-
如果选择当前数
i，则可以从dp[j-1][k-i]进行转移，将数k拆分为j个数的方案可以由数k-i拆分为j-1个数的方案转移而来。 -
因此，状态转移方程为： dp[j][k]+=dp[j−1][k−i]dp[j][k] += dp[j-1][k-i]dp[j][k]+=dp[j−1][k−i]
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该公式表示，当前数值
k的方案数等于在j-1个不同数构成k-i的方案数上加上i。
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边界条件：
由于拆分出的数需要互不相同，我们在外层循环中设定j从 10 到 1 逆序遍历，以确保每个数只被用一次。 -
最终结果：
经过所有状态的更新后，dp[10][2022]就代表了将 2022 拆分为 10 个互不相同的正整数的方案数。
代码实现（C语言）：
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>long long dp[11][2032];int main() {dp[0][0] = 1; // 初始状态：0 可以被拆分为 0 个数的一种方式for (int i = 1; i <= 2022; i++) {for (int j = 10; j >= 1; j--) {for (int k = i; k <= 2022; k++) {dp[j][k] += dp[j-1][k-i];}}}printf("%lld\n", dp[10][2022]);return 0;
}
得到运行结果：
代码分析：
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dp[0][0] = 1：初始化，表示将 0 拆分成 0 个数有 1 种方案。 -
外层循环
i遍历 1 到 2022 的所有正整数。 -
中层循环
j表示当前所需的数个数，逆序从 10 到 1 遍历，保证每个数仅被用一次。 -
内层循环
k表示当前和的数值，从i到 2022。 -
状态转移
dp[j][k] += dp[j-1][k-i]，即数k的方案数可以由j-1个数构成的k-i的方案数转移而来。
难度分析
⭐️⭐️⭐️
总结
本题利用动态规划实现了从小到大的逐步转移，计算出将 2022 拆分成 10 个互不相同的正整数的方案数。动态规划的优点是避免了重复计算，提高了效率。最终结果储存在 dp[10][2022] 中，即为所求解。