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408答疑

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一、图的基本概念

图的定义

图 $G$ 由顶点集 $V$ 和边集 $E$ 组成，记为 $G=(V,E)$，其中 $V(G)$ 表示图 $G$ 中顶点的有限非空集；$E(G)$ 表示图 $G$ 中顶点之间的关系（边）集合。

非空性

• 线性表可以是空表，树可以是空树，但图不可以是空图。也就是说，图中不能一个顶点也没有，图的顶点集 $V$ 一定非空，但边集 $E$ 可以为空，此时图中只有顶点而没有边。

非线性结构

• 图是非线性结构，由顶点和边组成。

顶点和边的表示

• 若 V = { v 1 , v 2 , ⋯ , v n } V = \{v_1, v_2, \cdots, v_n\} V={v1​,v2​,⋯,vn​}，则用 $|V|$ 表示图 $G$ 中顶点的个数。
• 边集 $E=\{(u,v)|u\in V,v\in V\}$，用 $|E|$ 表示图 $G$ 中边的条数。

顶点

• 图中的结点称为顶点。

边

• 连接顶点之间的线称为边。
  • 无向边简称为边。
  • 有向边称为弧。

有向图 & 无向图

有向图

• 有向图的边使用尖括号 $⟨⟩$ 表示。
• 弧是顶点的有序对，记为 $⟨v,w⟩$，其中 $v,w$ 是顶点，$v$ 称为弧尾，$w$ 称为弧头。
• $⟨v,w⟩$ 称为从 $v$ 到 $w$ 的弧，也称 $v$ 邻接到 $w$。

有向图 $G_1$ 的表示

• $G_1=(V_1,E_1)$
• V 1 = { 1 , 2 , 3 } V_1 = \{1, 2, 3\} V1​={1,2,3}
• $E_1=\{⟨1,2⟩,⟨2,1⟩,⟨2,3⟩\}$
  

无向图

• 无向图的边使用圆括号 $()$ 表示。
• 边是顶点的无序对，记为 $(v,w)$ 或 $(w,v)$。
• 可以说 $w$ 和 $v$ 互为邻接点。
• 边 $(v,w)$ 依附于 $w$ 和 $v$，或称边 $(v,w)$ 和 $v,w$ 相关联。

无向图 $G_2$ 的表示

• $G_2=(V_2,E_2)$
• V 2 = { 1 , 2 , 3 , 4 } V_2 = \{1, 2, 3, 4\} V2​={1,2,3,4}
• $E_2=\{(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)\}$
  

简单图 & 多重图

简单图

• 不存在重复边。
• 不存在顶点到自身的边。
  

多重图

• 允许两个顶点之间的边数大于 1 条。
• 允许顶点通过一条边和自身关联。
  

顶点的度、入度和出度

顶点的度

• 连接顶点边的数量称为顶点的度，记为 $TD(v)$。
• 在无向图中，每条边和两个顶点相关联，因此无向图的全部顶点的度之和等于边数的 2 倍。
• 在下图中，每个顶点的度均为 3。
  

有向图的度

• 对于有向图，顶点 $v$ 的度分为入度和出度。
  • 入度：以顶点 $v$ 为终点的有向边的数目，记为 $ID(v)$。
  • 出度：以顶点 $v$ 为起点的有向边的数目，记为 $OD(v)$。
• 顶点 $v$ 的度等于其入度与出度之和，即 $TD(v)=ID(v)+OD(v)$。
• 有向图的全部顶点的入度之和与出度之和相等，并且等于边数，这是因为每条有向边都有一个起点和终点。

路径、路径长度和回路

• 路径：

  • 顶点 $v_p$ 到顶点 $v_q$ 之间的一条路径是指顶点序列 $v_p,v_{i_1},v_{i_2},\cdots ,v_{i_m},v_q$。
  • 路径上的边的数目称为路径长度。
  • 第一个顶点和最后一个顶点相同的路径称为回路或环。
  • 若一个图有 $n$ 个顶点，且有大于 $n-1$ 条边，则此图一定有环。

• 简单路径：

  • 在路径序列中，顶点不重复出现的路径称为简单路径。

• 简单回路：

  • 除第一个顶点和最后一个顶点外，其余顶点不重复出现的回路称为简单回路。

距离

• 从顶点 $u$ 出发到顶点 $v$ 的最短路径若存在，则此路径的长度称为从 $u$ 到 $v$ 的距离。
• 若从 $u$ 到 $v$ 根本不存在路径，则记该距离为无穷（$\infty$）。

子图

• 设有两个图 $G=(V,E)$ 和 $G^{\prime }=(V^{\prime },E^{\prime })$，若 $V^{\prime }$ 是 $V$ 的子集，且 $E^{\prime }$ 是 $E$ 的子集，则称 $G^{\prime }$ 是 $G$ 的子图。
• 若有满足 $V(G^{\prime })=V(G)$ 的子图 $G^{\prime }$，则称其为 $G$ 的生成子图。
• 注意：并非 $V$ 和 $E$ 的任何子集都能构成 $G$ 的子图，因为这样的子集可能不是图，即 $E$ 的子集中的某些边关联的顶点可能不在这个 $V$ 的子集中。
• 下图中，(2)为(1)的子图。
  

完全图（简单完全图）

无向完全图

• 对于无向图，边的取值范围为 $0$ 到 $\frac{n(n-1)}{2}$。
• 如果图有 $\frac{n(n-1)}{2}$ 条边，则无向图称为无向完全图。
• 在完全图中任意两个顶点之间都存在边。
  

有向完全图

• 对于有向图，边的取值范围为 $0$ 到 $n(n-1)$。
• 如果图有 $n(n-1)$ 条弧，则有向图称为有向完全图。
• 在有向完全图中任意两个顶点之间都存在方向相反的两条弧。
  

连通图、连通分量、强连通图，强连通分量

连通性

连通图

• 在无向图中，若从顶点 $v$ 到顶点 $w$ 有路径存在，则称 $v$ 和 $w$ 是连通的。
• 若图 $G$ 中任意两个顶点都是连通的，则称图 $G$ 为连通图，否则称为非连通图。

强连通图

• 在有向图中，若有一对顶点 $v$ 和 $w$，从 $v$ 到 $w$ 和从 $w$ 到 $v$ 之间都有路径，则称这两个顶点是强连通的。
• 若图中任意一对顶点都是强连通的，则称此图为强连通图。
  

连通分量

• 无向图中的极大连通子图称为连通分量。
• 在下图中，图 $G$ 有 3 个连通分量。
• 假设一个图有 $n$ 个顶点，若边数小于 $n-1$，则此图必是非连通图。
  • 若该图是非连通图，非连通情况下边最多的情况：由 n-1 个顶点构成一个完全图，此时再加入一个顶点则变成非连通图。
    

强连通分量

• 有向图中的极大强连通子图称为有向图的强连通分量。
• 在下图中，图 $G$ 有 2 个连通分量。
• 假设一个有向图有 $n$ 个顶点，若该图是强连通图，则连通情况下边最少的情况：至少需要 n 条边，构成一个环路。
  

注意：在无向图中讨论连通性，在有向图中讨论强连通性

生成树 & 生成森林

生成树

• 连通图的生成树是包含图中全部顶点的一个极小连通子图。
• 若图中顶点数为 $n$，则它的生成树含有 $n-1$ 条边。
• 包含图中全部顶点的极小连通子图，只有生成树满足这个极小条件，对生成树而言，若砍去它的一条边，则会变成非连通图，若加上一条边则会形成一个回路。
  

生成森林

• 非连通图中，连通分量的生成树构成了非连通图的生成森林。

注意：区分极大连通子图和极小连通子图。极大连通子图要求子图必须连通，而且包含尽可能多的顶点和边；极小连通子图是既要保持子图连通又要使得边数最少的子图。

边的权、网和带权路径长度

边的权

• 在一个图中，每条边都可以标上具有某种含义的数值，该数值称为该边的权值。

网

• 这种边上带有权值的图称为带权图，也称网。

带权路径长度

• 路径上所有边的权值之和，称为该路径的带权路径长度。

稠密图 & 稀疏图

稀疏图

• 边数很少的图称为稀疏图。
• 稀疏和稠密本身是模糊的概念，稀疏图和稠密图常常是相对而言的。
• 一般当图 $G$ 满足 $|E|<|V|{\log }_2|V|$ 时，可以将 $G$ 视为稀疏图。

稠密图

• 反之称为稠密图。

有向树

• 一个顶点的入度为 $0$、其余顶点的入度均为 $1$ 的有向图，称为有向树。

六、参考资料

鲍鱼科技课件

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网课全程班: link

26王道考研书