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设有非等腰的 $△ABC$, $O$ 和 $I$ 分别为外心和内心. 在边 $AC$, $AB$ 上分别存在两点 $E$ 和 $F$, 使得 $CD+CE=AB$, $BF+BD=AC$. 设 $(BDF)$ 和 $(CDE)$ 交于 $D$, $P$. 求证: $OI=OP$.

证明:

不妨设 $C>B$

由密克定理可知 $A$, $F$, $P$, $E$ 共圆.

设射线 $AI$, $BI$, $CI$ 除端点外分别交 $(AEF)$, $(BFD)$, $(CDE)$ 于 $X$, $Y$, $Z$.

先证明 $I$, $X$, $Y$, $Z$ 共于一圆, 且该圆的圆心为 $O$.

根据三弦定理有, 这等价于:

$IX\sin (\frac{\pi }{2}-\frac{A}{2})+IY\sin (\frac{\pi }{2}-\frac{B}{2})=IZ\sin (\frac{\pi }{2}+\frac{C}{2})$

整理得:

$IX\cos (\frac{A}{2})+IY\cos (\frac{B}{2})+IZ\cos (\frac{C}{2})=0$

根据三弦定理有:

$(BD+BF)\sin \frac{B}{2}=BY\sin B=>BY=\frac{b}{2\cos \frac{B}{2}}$

类似地, 可以证明 $AX=\frac{a}{2\cos \frac{A}{2}}$, $CZ=\frac{c}{2\cos \frac{C}{2}}$

所以

$IY\cos (\frac{B}{2})=(IB-BY)\cos (\frac{B}{2})=IB\cos \frac{B}{2}-\frac{b}{2}=(p-b)-\frac{b}{2}$

类似地, 可以证明 $IX\cos (\frac{A}{2})=(p-a)-\frac{a}{2}$, $IZ\cos (\frac{C}{2})=(p-c)-\frac{c}{2}$

所以 $IX\cos (\frac{A}{2})+IY\cos (\frac{B}{2})+IZ\cos (\frac{C}{2})=3p-(a+b+c)-\frac{a+b+c}{2}=0$

所以 $I$, $X$, $Y$, $Z$ 共圆.

易知若 $IX=2(OA\cos \angle OAI-AX)$, 则 $OI=OX$
易知 $\angle OAI=\frac{C-B}{2}$,

$2OA\cos \angle OAI\cos (\frac{A}{2})=2OA\cos \frac{C-B}{2}\sin \frac{B+C}{2}=OA(\sin C-\sin B)=\frac{c-b}{2}$

$2AX\cos \frac{A}{2}=a$

$IX\cos \frac{A}{2}=p-\frac{3a}{2}$

$IX\cos \frac{A}{2}-2[OA\cos \angle OAI\cos (\frac{A}{2})-AX\cos \frac{A}{2}$ ]= $p-\frac{3a}{2}-\frac{c-b}{2}-a=0$

所以 $IX=2(OA\cos \angle OAI-AX)$ 成立, 进而 $OI=OX$.

类似地, 还可以证明 $OI=OY$, $OI=OZ$.

所以该圆的圆心为 $O$.

$\angle FPX=\pi -\frac{A}{2}$

$\angle FPY=\pi -\frac{B}{2}$

$\angle XPY=\frac{\pi }{2}-\frac{C}{2}=\angle XZY$

所以 $P$ 在 $(XYZ)$ 上, 进而 $OI=OP$.

证毕.