1.解等式约束问题
1.1等式QP问题描述
考虑如下等式约束的时变二次规划（QP）问题：
采用拉格朗日乘数法将其转换为无约束优化问题：
对未知量求偏导：
将上式整理成矩阵的形式：
1.2ZNN解等式约束问题
定义误差函数：
ZNN模型的误差动态方程：
其中，ρ为可调参数，越大收敛越快，不同维度可以用不同的ρ。为ZNN神经网络激活函数。
因此，求解等式QP问题的零化神经网络ZNN模型如下：
激活函数的常见及改进计算方法：
（1）线性饱和激活函数
（2）Sigmoid激活函数
（3）有限时间收敛的激活函数(改进)
1.3仿真举例
考虑如下二次规划问题：
结果如下：
2.解等式和不等式约束问题
2.1等式和不等式约束问题描述
考虑如下不等式/等式约束的时变二次规划（QP）问题：
根据KKT条件，将上式写为：
其中，、
为等式和不等式约束的拉格朗日乘子，输出
如下：
将上式写成矩阵形式：
2.2ZNN解等式和不等式约束问题
定义误差函数：
动态误差方程：
ZNN迭代求解模型：
其中，为ZNN激活函数，
为可调节参数。
3.在机器人上的应用
3.1在冗余机器人及关节故障轨迹跟踪上的应用
冗余机械臂重复运动规划旨在消除冗余机械臂重复执行末端封闭轨迹任务时的关节角漂移现象，具体地，希望机械臂各关节角在一个任务周期结束后，仍然回到期望起始角度。每个任务周期以同一初始关节状态运行，可避免机械臂产生非期望的关节轨迹，有助于封闭轨迹重复作业的安全运行。机械臂轨迹规划的基本做法是基于机械臂运动学模型，通过给定的期望末端笛卡尔位置求取合适的关节角度。考虑n自由度冗余机械臂，其关节角度和末端执行器位置关系如下：
其中，r(t)为t时刻机械臂末端执行器在笛卡尔坐标系下位置坐标，θ(t)表示对应时刻的关节角度向量，f(·)表示关节角与机械臂末端位置间的非线性映射关系。两边同时求取时间导数：
其中，J(θ(t))为机器人的雅可比矩阵。则机器人的重复运动规划问题可描述为：
写成矩阵形式为：
最终效果如下：
3.2在线对机器人进行动力学参数辨识
3.3基于基于机器人动力学模型的实时控制
4.视频展示
ZNN零化神经网络—在机器人冗余控制及关节故障轨迹跟踪上的应用
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