广东企业网站seo点击软件_承德网站制作人才招聘_搜索推广营销_软文推广代表平台

这篇论文的主要结论包括以下几点：

1. 阈值效应：随着后向积分信噪比（SNR）的降低，互相关器在时间延迟估计中表现出阈值效应，即大估计误差（异常估计）的概率迅速增加。这表明在低信噪比条件下，时间延迟估计的可靠性显著下降。

2. 异常概率的近似分析：论文提出了异常估计概率的近似理论结果，并通过实验验证了这些理论结果的有效性。结果显示，异常概率与信噪比之间存在明显的关系。

3. 门控模式与非门控模式的比较：在门控模式下，使用最接近真实时延的相关峰值作为时延估计，而在非门控模式下，则使用整个相关器延迟时间范围内的最大峰值。研究发现，门控模式在较高信噪比下表现更好，而非门控模式在较低信噪比下的表现可能更差。

4. 方差的影响：异常引起的方差是决定小误差分析适用区域的最重要因素。论文指出，理解这些方差的变化对于改进时间延迟估计方法至关重要。

如何计算延时估计

论文中提到的时间延迟估计的计算过程主要包括以下步骤：

1. 信号模型：

   • 假设有两个传感器接收到的信号 (x_1(t)) 和 (x_2(t))，分别表示为：
     $$x_1(t)=s(t)+n_1(t)$$
     $$x_2(t)=s(t-D)+n_2(t)$$
     其中$s(t)$ 是共同的信号，$n_1(t)$ 和 $n_2(t)$ 是不相关的噪声，$D$ 是时间延迟。

2. 互相关计算：

   • 通过计算两个信号的互相关函数来估计时间延迟：
     $$z(\Delta )=\frac{1}{T}{\int }_{-T/2}^{T/2}{x}_1(t)x_2(t+\Delta )dt$$
   • 这里，$z(\Delta )$ 是互相关输出，$\Delta$ 是延迟估计。

3. 概率密度函数：

   • 论文假设互相关输出 $z_0$和 $z_1$ 服从高斯分布，均值和方差由已知的自相关函数计算得出。

4. 异常估计的概率：

   • 通过理论推导，得出异常估计的概率 $P_{anomaly}$ 的近似表达式，并通过实验验证其准确性。

5. 峰值选择：

   • 在互相关图中，选择相关峰值作为时间延迟的估计。如果峰值落在预设的合理范围内，则认为该估计是有效的；否则，标记为异常。

6. 精细估计：

   • 使用抛物线插值公式生成峰值位置的精细估计：
     $$D=D_p-\frac{(D_p-D_{p-1})(D_p-D_{p+1})}{(D_p-D_{p-1})+(D_p-D_{p+1})}$$
   • 其中 $D_p$ 是相关函数估计的峰值对应的延迟值，$D_{p-1}$ 和 $D_{p+1}$ 是相邻的延迟值。

摘要
本文考察了在两个传感器接收到的共同随机信号的时间到达差异的估计问题，每个传感器还接收到不相关的噪声，这种估计问题在水下声学中具有相当的实际兴趣。对于小误差和大误差情况都进行了分析。结果表明，随着后向积分信噪比的降低，相关器表现出阈值效应；即大误差（异常估计）的概率迅速增加。本文提出了异常概率的近似理论结果，并通过实验进行了验证。同时，对于门控模式和非门控模式下的时延估计方差进行了检验，门控模式使用最接近真实时延的相关峰值作为时延估计，而非门控模式使用在整个相关器延迟时间范围内最大的峰值作为估计。两种模式的观测方差与基于小误差分析的理论方差进行了比较。对于门控模式，可以从线性准则可靠预测出观测方差开始显著偏离小误差理论的信噪比。然而，对于非门控模式，预期方差可以在比门控模式更高的信噪比下偏离小误差理论；因此，异常引起的方差可以是决定小误差分析适用区域的最重要因素。

1. 引言
在两个或更多传感器接收到的共同随机信号的时间到达差异估计问题中，每个传感器还接收到不相关的噪声，这是一个在水下声学中具有相当实际兴趣的问题。估计时间到达差异的一种常用方法是对两个信号进行互相关处理，并选择相关图的峰值作为时间差异的估计。多个作者已经推导出结果时间延迟估计的方差[1]，[2]。正如[1]中讨论的，这些结果要求估计误差足够小，以使估计保持在信号自相关函数导数的线性区域内。同样已经确立，相关器在适当的滤波下是最优的时间延迟估计器，因为它的估计方差达到了绝对最小方差——克拉美罗下界（CRLB）[1]-[3]。同样，相关器仅在小估计误差下是最优的。这可以通过注意到，具有适当滤波的相关器是时间延迟的最大似然估计器[2]；然而，最大似然估计器仅在估计误差小时才能达到CRLB，对于我们考虑的这种非线性估计问题[4, p. 711。最近的实验研究已经验证了这些理论结论的一些[5]，[6]。在大估计误差存在的情况下，时间延迟估计尚未得到充分研究。特别是，尚不清楚在什么条件下时间延迟估计的方差开始显著偏离小误差分析给出的结果。经验法则是，当估计的标准差在低通信号的信号带宽倒数的量级上，或者在窄带信号的倒数频率的量级上时，典型估计肯定超出了信号自相关函数导数的线性区域，因此推导出方差表达式所需的假设被违反，这意味着误差将比预测的要大。关于CRLB适用性的讨论见[4, p. 701。这种论点只适用于局部误差（当估计接近真实值时），它不涉及大误差或异常估计的可能性。当可以使用跟踪门或对时间延迟动态的先验知识来限制误差偏移的大小时，只考虑局部误差是适当的。另一方面，当缺乏关于时间延迟的先验信息时，相关器通常在非门控意义上使用，即允许在相关图延迟时间的观测范围内的任何时间延迟。因此，理解这种非门控模式的行为是重要的。正如我们下面所示，随着后向积分信噪比（SNR）的降低，比简单的方差增加更有趣的现象发生了；即在某个后向积分SNR以下，异常估计的概率突然和急剧增加。这是一种阈值现象，类似于在频率调制系统中观察到的现象[7, p. 6611，脉冲位置调制系统（PPM）[7, p. 6271，或更一般地，对于任何非线性估计或通信系统[4, p. 273; 7, p. 6171。正如伍德沃德[8, p. 901所讨论的，当低维（在我们的情况下是时间延迟，它是一维的）的消息“编码”在具有更高维度或更多自由度的信号中时，阈值效应就可能发生。因此，阈值效应是基本的和不可避免的。在本文中，我们首先提出了异常估计概率的近似分析，因此对于阈值的开始。然后描述了验证理论的实验结果，然后讨论了门控和非门控模式下时间延迟估计方差的理论结果和实验结果。

II. 异常概率分析

我们假设有两个传感器接收到两个随机信号$x_1(t)$和$x_2(t)$，由下式给出：
$$x_1(t)=s(t)+n_1(t)$$
$$x_2(t)=s(t-D)+n_2(t)$$
其中$s$,$n_1$, 和$n_2$是不相关的高斯随机过程，$D$是到达时间差。通过形成相关器输出$z(\Delta )$来估计$D$：
$$z(\Delta )=\frac{1}{T}{\int }_{-T/2}^{T/2}{x}_1(t)x_2(t+\Delta )dt$$
$p(z_i)$是任何$z_i$的概率密度函数，所有这些函数都被假设具有相同的概率密度函数。为了进行，我们必须为$p(z_0)$和$p(z_1)$找到适当的形式。由于$z_0$和$z_1$简单地是互相关函数估计，它们的均值和方差是已知的[9, p. 183]。因此，如果信号$R_s(\tau )$和噪声$R_N(\tau )$的自相关函数由下式给出：
$$R_s(\tau )=S^2\varphi (\tau )$$
$$R_N(\tau )=N^2\varphi (\tau )$$

其中$S$和$N$是信号和噪声方差，$\varphi (\tau )$是信号和噪声的归一化相关函数，如果时间-带宽乘积大，即$T/T_c>>1$，则$-z_0=S{z}_1=0$。方差为：
$$Var[z_0]\approx \frac{(S+N{)}^2+S^2}{B_T}$$
$$Var[z_1]\approx \frac{(S+N{)}^2}{B_T}$$
其中$B_T$是统计带宽[9, p. 278]。现在假设$z_0$和$z_1$是高斯分布，均值和方差由(6)给出，我们可以将这些近似值代入(4)中，并且在标准化变量后，我们发现：
$$P_{anomaly}\approx 1-{\int }_{-\infty }^{\infty }dx\exp \left[-\frac{3(x-\mu {)}^2}{2}\right]$$
其中$\mu$是后向积分信噪比(SNR)，$B$是一个缩放因子，其值在1和$2\sqrt{2}$之间。方程(7a)需要数值评估。与通信类比一样，可以找到建立$P_{anomaly}$上限的近似解析表达式。因此，如[4, p. 264]中所述：
$$P_{anomaly}<(M-1{)}^{-1}\exp \left[-\frac{2\mu }{M}\right]$$

III. 实验描述

通过生成两个单位方差的独立高斯随机数序列$V_1$和$V_2$，并根据规则$[10,p.953]$组合这些序列来模拟感兴趣的问题：

$$x_{1i}=(1+S/N{)}^{1/2}{u}_i$$
$$x_{2i}=(1-S/N{)}^{1/2}[r{u}_i+(1-r^2{)}^{1/2}{v}_i]$$

其中$r=(S/N)/[1+S/N]$。因此，$X_1$和$X_2$都有总方差$(1+S/N)$，两个通道$X_1{X}_2$的相关性是$S/N$。这个过程模拟了由(1)和(5)描述的问题，其中(5)中的$N$设为1，$S$设为$S/N$，$D=0$。序列$X_1$和$X_2$随后被有限长度的高斯滤波器低通滤波，其采样传递函数 $h(n\Delta T)$由下式给出：

$$h(n\Delta T)={\left[2{\left(\frac{1}{\pi a}\right)}^{1/2}\right]}^{-1}\exp \left[-(n\Delta T{)}^2/(4a)\right],n<16$$
得到采样自相关函数：
$$R(n\Delta T)=\left(\frac{S}{N}\right)\exp \left[-(n\Delta T{)}^2/(Sa)\right],2{\left(\frac{1}{\pi a}\right)}^{1/2}$$
这些模拟了具有谱密度的时序：
$$S(2\pi f)=(1+S/N)\exp \left[-2{\pi }^2{f}^{2}a\right]$$
选择这种滤波器是因为它是一个低通滤波器，其自相关函数没有旁瓣；带通滤波器或具有高旁瓣的滤波器可能会引入我们目前不想处理的额外复杂性。我们在最后的部分简要讨论了这个问题。通过上述处理形成了一个模拟的$T+T_0$秒记录。用$T=L\Delta T$和$T_0=P\Delta T$，这给出了两个$L+P$点记录。这两个序列的互相关是通过将这些$L+P$点序列分成$(L+P)/P$个连续段，并通过$[11,p.560]$中概述的FFT技术进行的。这在$\pm P(\Delta T_0)$的滞后值之间生成了一个相关图估计。为了确定哪些事件构成异常，我们首先必须确定一个合理的相关时间$T_c$的定义。我们使用定义：
$$T_c={\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{R(\tau )}{R(0)}d\tau$$

如果相关函数是一个在$-T/2<\tau <T/2$内恒定值，并且在其他地方为零的矩形函数，那么(12)将给出$T_c=T$。如果，作为另一个例子，该过程有一个在$-B<f<B$内均匀的谱，那么(12)将给出$T_c=1/2B$。对于我们正在考虑的过程，在将(11b)的连续版本代入(12)并计算积分后，我们发现：
$$T_c=2(2\pi a{)}^{-1/2}$$
其他$T_c$的定义也可以选择。方程(17)是合理的，并将被证明可以产生满意的结果。$M$，$z(\Delta )$的独立值的数量由下式给出：
$$M=\frac{2T_0}{T_c}$$
其中$a=b^2\Delta T^2$。对应于正确（非异常）$D$值的区域$R_e$是：

$$R_e:-\frac{T_c}{2}<D<\frac{T_c}{2}\text{ 或 }-\frac{(2\pi {)}^{1/2}b}{\Delta T}<D<\frac{(2\pi {)}^{1/2}b}{\Delta T}$$

最后，为了完全指定问题，我们必须选择一个带宽-时间乘积的值，由(6d)给出。对于(11)的谱，$B_T=[2(\pi a{)}^{-1/2}{]}^{-1}$，所以用(14b)：
$$B_{T}T=\frac{L}{2(\pi {)}^{1/2}b}$$
为了指定我们的问题，我们可以选择$M$和FFT大小$P$；这决定了谱参数$b$由(14b)给出。然后我们必须选择总记录长度$L$，以确保$B_{T}T$很大。在指定了问题的参数后，生成了大量（几千个）独立的$L+P$点滤波序列，并进行了相关处理。对于每个实现，在$\pm P(\Delta T_0)$的滞后区域中搜索相关峰值（最大正值）。如果峰值落在$R_e$内，则使用抛物线插值公式生成并存储峰值位置的精细估计：
$$D=D_p-\frac{(D_p-D_{p-1})(D_p-D_{p+1})}{(D_p-D_{p-1})+(D_p-D_{p+1})}$$
其中$D_p$是相关函数估计的峰值对应的延迟值，$D_{p-1}$和$D_{p+1}$是相邻的延迟值，与$D_p$相隔一个样本间隔$DeltaT$。如果对于给定的实现，$D_p$没有落在$R_e$内，则该估计被计为异常。仍然使用(17)生成并存储精细估计。此外，当异常事件发生时，还生成了最接近真实值的相关图峰值位置的估计。因此，对于每个实现，生成了两个延迟估计。对于非异常事件，这些估计值是相同的。在所有实现结束后，生成了异常事件的总数和两个延迟估计的方差。对于每组参数$(M,b,L)$，数据是作为SNR的函数生成的。

IV. 异常概率的理论和实验结果比较

选择了参数$M=16$, $b=(2/\pi {)}^{1/2}$, $P=32$, $L=320$（因此$B_{T}T=113$）的测试示例。图1显示了异常概率与后向积分信噪比$A$的理论结果。标记为“高斯近似”的曲线是从(7)中得到的。标记为“上限”的曲线是从(9)中得到的。上限接近，但不收敛于所示值范围内的高斯近似。异常概率的实验结果在图1中以x标记显示。使用了不同数量的总实现（通常从2000-5000）来获得这些数据。指示的置信区域是基于标准技术估计比例的95%置信区间$[12,p.185]$。实验结果与理论结果在整个$A$的范围内非常好地吻合。对于非常小的$P_{anomaly}$，数据似乎略低于理论预测。在图2中，我们显示了$M=4$ $(b=(2/\pi {)}^{1/2}$, $P=8$, $L=320$），$M=64$ $(b=0.4(2/\pi {)}^{1/2}$, $P=128$, $L=1000$）的理论结果和实验结果，以及之前$M=16$的理论结果。这两种新情况的$B_{T}T=113$与$M=16$的情况相同；因此图2只反映了变化$M$的效果。实验结果再次证实了理论的适用性。从图2中我们可以看到，当$M$增加而保持后向积分信噪比$A$固定时，异常概率增加。这与PPM中看到的效果类似，并且发生是因为随着$M$的增加，固定信噪比下，有更多的机会让噪声峰值超过真实延迟处的峰值，因为有更多的噪声箱。$P_{anomaly}$最初随着信噪比的增加而减少。然而，正如我们从(7b)看到的，$A$和因此$P_{anomaly}$最终变得与信噪比无关。因此，对于固定的$B_{T}T$，即使在无限信噪比下，也仍然有机会犯大错误。这是因为实现的相关器，如实现的那样，包括在每个滞后值的相关输出中的新数据；因此不能保证即使在无限信噪比下，相关输出的峰值将在真实时间延迟处。应该指出，尽管对于小$B_{T}T$，非常高信噪比下的误差率将非常小，因此得到的非门控方差将小于线性理论预测的方差。这表明对于小$B_{T}T$和非常大的信噪比，选择相关器可能不是最佳仪器。

V. 时间延迟估计方差的理论和实验结果比较

对于小估计误差，可以从[2]的结果中获得时间延迟估计方差的理论值，使用(11C)中给出的高斯谱形状。计算积分后我们发现：

$Var[\Delta ]=\frac{4{\pi }^{1/2}{b}^3}{A{T}^2}\left(1+\frac{2S}{N}\right)$

归一化Var[3]除以$AF$并回忆定义$a=b^2\Delta T^2$,$T=L\Delta T$, $B_T^{\prime }=2(\pi a)$，(18)变为：

$$Var[\Delta ]=\frac{4{\pi }^{1/2}{b}^3}{A{T}^2}\left(1+\frac{2S}{N}\right)$$

方程(19)作为信噪比的函数绘制在图3中，并标记为“线性理论”，使用与图1中$M=16$示例相同的参数$b=(2/\pi {)}^{1/2}$, $L=320$。还显示了三种不同初始门宽的实验结果。标记为“门 +Tc/2”的数据是通过在区域+Tc/2内选择相关图的峰值（真实值在零延迟处），然后使用(17)进行插值，并计算结果时间延迟估计的方差来确定的。注意，如果最大值不在+Tc/2内部，给定的估计值在插值后可能在+Tc/2外部。标记为“门 + Tc”的数据以类似方式计算，只是最初搜索峰值的范围是+Tc。这两种估计程序除了当在+Tc/2内有相对最大值并且在Tc/2和Tc（或-Tc/2和-Tc）之间有更大的峰值时，将产生相同的估计。最后，标记为“无门”的数据对应于在整个相关图（+To）中搜索初始峰值的时间延迟估计。首先讨论两种门控模式的结果。从图3中我们可以看到，对于高信噪比，理论和实验结果非常好地吻合，正如之前所示[5]，[6]。对于信噪比为0.6或更高，两种门宽给出了相同的结果。随着信噪比的降低，实验结果开始超过理论结果，并且在低信噪比下实验和理论显著不同。低信噪比行为取决于初始搜索门的宽度；正如所料，初始搜索门越大，方差越大。对于信噪比为0，“门 +Tc/2”数据的平均归一化方差为11.6或初始门宽(Tc = 4)的0.85倍；信噪比为0时，“门 + Tc”数据的平均归一化方差为14.5或初始门宽的0.48倍。现在我们检查测量方差对于门控模式开始显著偏离理论预测的点。在推导(18)时使用的误差展开只保留了到$d^2{R}_s(\tau )/d{\tau }^2$阶的项[1]。可以证明(18)在以下条件下有效：

$$Var[\Delta ]<<{\left[\frac{(d^2{R}_s(\tau )/d{\tau }^2)}{(d^4{R}_s(\tau )/d{\tau }^4)}\right]}_{\tau =0}$$

因此，方程(20)给出了一个标准，以确定估计值何时保持在dRs(τ)/dτ的线性区域内。对于我们示例的参数，右侧等于0.85；因此我们可以期望(18)在$Var[\Delta ]<0.08$时准确。从图3中我们可以看到这是一个合理的估计。一个简单的修正理论结果(18)可以按如下方式导出。方程(18)是从以下形式的表达式计算的[11]，[4, p. 701]：

$$Var[\Delta ]c=\frac{1}{A{T}^2}\left(1+\frac{2S}{N}\right)$$

如果评估第二导数不是在T = 0而是在由(21)给出的值Vo处，我们可以找到一个修正公式的形式：

$$Var[\Delta ]c=\frac{1}{A{T}^2}\left(1+\frac{2S}{N}\right)$$

其中我们使用了(16b)中的$R(\tau )$。$Var[\Delta ]c/A{T}^2$在图3中绘制，并标记为“非线性修正”。这种简单的修正对于信噪比下降到大约0.5是相当有效的。上述讨论适用于门控处理模式的性能；要实际使用门控模式，需要对真实时间延迟有一些先验信息。如果没有这样的信息，必须搜索整个相关图延迟区域(*To)。非门控模式的预期方差大约等于没有异常时的方差乘以没有异常的概率，加上给定异常时的方差乘以异常的概率。这个函数在图3和4中绘制，并标记为“无门的理论方差”。给定异常时的方差大约是$T_c^2/3$，因为这是在+To中均匀分布的变量的方差。观测值由图4中的x表示，并且与理论非常吻合。从图3和4中可以清楚地看到，非门控模式的方差在比门控模式更高的信噪比下偏离线性化理论。有趣的是，有一个通用的标准来确定哪种处理模式，门控还是非门控，在更高的信噪比下偏离线性化理论。首先，使用(20)的标准可以证明，对于大的带宽时间乘积，门控模式在信噪比低于$(S/N{)}_G=(30/B_{T}T{)}^{(}1/2)$的值时开始显著偏离线性理论。接下来，我们将线性理论中的方差值与门控模式的方差值在(S/N)_G处进行比较。这给出了一个标准：

$$C_G=C$$

其中$C$是(9b)中在(S/N)_G处评估的值。方程(23)表明，如果$M^3$大于右侧的临界值，则非门控模式的方差在比门控模式更高的信噪比下偏离线性分析；如果$M^3$小于右侧，则相反。因此，正如前面所述，$M$的值越大，异常行为越重要。如果$B_{T}T$非常大，则$C_G\approx (15{)}^{1/2}$，与信噪比无关，标准变为：

$$M^3><8$$

VI. 最终评论

这里显示的实验结果是使用具有无旁瓣的自相关函数的低通谱获得的。具有窄带谱或大旁瓣的信号将由于自相关函数在远离零的时间延迟处的相对大值而具有更大的异常估计概率。这样的谱将必须单独考虑。预计在高信噪比下，非门控模式的均方误差将大于这里显示的，由于旁瓣或窄带峰值的影响（假设相同的带宽）。在低信噪比下，这些影响可能不那么重要，因此结果将与这里给出的结果类似。对于小估计误差，给定仪器的比较标准是克拉美罗下界（CRLB）。此外，已知具有适当滤波的相关器实现了CRLB。[对于这里使用的高斯信号和噪声谱，插入最优滤波器后找到的CRLB为零，因为指定了对所有频率的积分。这当然是物理上不现实的，因为一些其他噪声过程最终将变得重要并限制性能。]对于大估计误差，其他界限，如Barankin界限[13]或Ziv-Zakai界限[14]，更合适。这些界限必须评估并与图4中显示的非门控均方估计误差进行比较，以确定在大估计误差存在的情况下相关器的优化程度。