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$\text{0. Intro}$

1️⃣$\text{LSH}$的优势：在$\lambda$较大的度量空间，也可以高效回答$\text{c-ANN}$查询问题

2️⃣一些预备知识

1. 多重集并集$\text{(multi-set union): }$和普通并集相比区别在于保留重复项
   • 比如 Z 1 = { a , b } 和 Z 2 = { b , c } Z 1 ⇒ Z 1 ∪ Z 2 = { a , b , b , c } Z_1 = \{a, b\}和Z_2 = \{b, c\}Z_1 \Rightarrow{}Z_1\cup Z_2 = \{a, b, b,c\} Z1​={a,b}和Z2​={b,c}Z1​⇒Z1​∪Z2​={a,b,b,c}
2. $\text{Markov}$不等式：$\text{Pr}[X\ge t\cdot \mathbf{E}[X]]\le \frac{1}{t}$

$\text{1. }(r,c)\text{-Near Neighbor Search}$

1️⃣$(r,c)\text{-NN}$概念

1. $r\ge 1$且$c>1$，$S\subseteq U$且$|S|=n$ ，$q\in U$

2. $(r,c)\text{-NN}$查询返回：令$D\text{=dist}(q,e_i)$

   

   $\text{Case}$	$\exists e_i使D\in [0,r]$	$\exists e_i使D\in [r,cr]$	$\exists e_i使D\in [cr,\infty ]$	返回对象
   $\text{Case 1}$	一定	可能	可能	满足$D\le cr$的$e_i$
   $\text{Case 2}$	不可能	不可能	不可能	返回寂寞
   $\text{Case 3}$	不可能	一定	可能	满足$D\le cr$的$e_i$

2️⃣引理：按以下步骤，可回答$S$上所有$c^2\text{-ANN}$查询

1. 条件：对任意$r\ge 1$和$c>1$，我们已经知道了如何在$S$上构建结构来回答$(r,c)\text{-NN}$查询
2. 步骤：
   • 构建$O(\log \text{diam}(S))$个这样的结构
   • 发起$O(\log \text{diam}(S))$个$(r,c)\text{-NN}$查询 ($c$相同但$r$不同)

$\text{2. Locality Sensitive Hashing}$

1️⃣局部敏感哈希函数定义：核心思想就是将相似的点映射进同一桶，不相似的点映射到不同桶

1. 前提
   • 设$r/c/p_1/p_2$满足$r\ge 1/c>1/0<p_2<p_1\le 1$
   • $h$是根据某种分布从函数族$H$中抽取的函数
2. 随机函数$h\text{: }U\to \mathbb{N}$是$\left(r,cr,p_1,p_2\right)\text{-LSH}$函数，需满足
   • $\forall x,y\in U\to \{\begin{array}{l}\text{dist}(x,y)\le r\Rightarrow \text{Pr}[h(x)=h(y)]\ge p_1\\ \\ \text{dist}(x,y)>cr\Rightarrow \text{Pr}[h(x)=h(y)]\le p_2\end{array}$
   • 即两个数据靠得近($\le r$)，哈希冲突到一个桶的概率就大；靠的远($>cr$)则概率就小
3. 此外定义$\left(r,cr,p_1,p_2\right)\text{-LSH}$函数的对数比值为$\rho =\frac{\ln \left(\frac{1}{p_1}\right)}{\ln \left(\frac{1}{p_2}\right)}=\frac{\ln p_1}{\ln p_2}<1$

2️⃣放大引理：若已知如何获得$\left(r,cr,p_1,p_2\right)\text{-LSH}$函数$h$则$\forall \text{int }\ell \ge 1$有$\left(r,cr,p_1^{\ell },p_2^{\ell }\right)\text{-LSH}$函数$g$使

1. $\forall x,g(x)$计算复杂度是$h(x)$的$O(\ell )$倍
2. $g(x)$空间复杂度为$O(\ell )$

3️⃣$\text{LHS}$实例：$({\mathbb{N}}^d,\text{dist=Euclidean})$的$\left(r,cr,p_1,p_2\right)\text{-LSH}$函数

1. 构建
   • 生成$d$个随机变量${\alpha }_1{\alpha }_2...{\alpha }_d$且${\alpha }_i\sim N(0,1)$
   • 令$\beta >0$依赖于$c$，$\gamma$在$[0,\beta ]$中均匀随机生成
   • $\forall x\in {\mathbb{N}}^d$定义$h(x)=\text{[}\frac{\gamma +\sum _{i=1}^d\left(\frac{{\alpha }_i\cdot x[i]}{r}\right)}{\beta }\text{]}$
2. 性质：$p_2$是一个常数，该函数的对数比值$\rho \le \frac{1}{c}$

$\text{3. A Structure for }(r,c)\text{-NN Search}$

$\text{3.0. Inro}$

1️⃣一些前置条件

1. $S\subseteq U(|S|=n)$
2. 若能够构建$\rho$的$\left(r,cr,p_1,p_2\right)\text{-LSH}$函数，该结构用于在$S$上回答$(r,c)\text{-NN}$查询
3. 记$t_{lsh}$为评估$\left(r,cr,p_1,p_2\right)\text{-LSH}$函数值所需时间

2️⃣需要证明的定理：存在这样一种结构

1. 复杂度：
   • 空间复杂度：使用$O\left(n^{1+\rho }\cdot {\log }_{\frac{1}{p_2}}n\right)$个内存单元$+$存储$O\left(n^{1+\rho }\right)$个对象
   • 时间复杂度：查询耗时 $O\left(n^{\rho }\cdot {\log }_{\frac{1}{p_2}}n\cdot t_{lsh}\right)+$计算距离耗时$O\left(n^{\rho }\right)$
2. 效果：能够至少以$\frac{1}{10}$的概率，正确回答一次$(r,c)\text{-NN}$查询

$\text{3.1. Structure}$

1️⃣哈希函数$g_1{g}_2...g_L$：令$\ell \ge 1$和$L\ge 1$为待定的整数，则

• 由函数$h\text{:}\left(r,cr,p_1,p_2\right)\text{-LSH}$放大到为$L$个独立函数$\to \{\begin{array}{l}{g}_1\text{:}\left(r,cr,p_1,p_2\right)\text{-LSH}\\ \\ g_2\text{:}\left(r,cr,p_1^2,p_2^2\right)\text{-LSH}\\ \\ \text{. . . . . . . }\\ g_{\ell }\text{:}\left(r,cr,p_1^{\ell },p_2^{\ell }\right)\text{-LSH}\\ \\ \text{. . . . . . . }\\ \\ g_L\text{:}\left(r,cr,p_1^L,p_2^L\right)\text{-LSH}\end{array}$

2️⃣桶定义：让所有$x\in S$通过所有哈希函数$g_i$算出哈希值，所有哈希值相同的$x$分到一个桶里

3️⃣哈希表：$T_i$收集了由$g_i$哈希出来的若干非空桶，一共$L$张哈希表$T_1,\dots ,T_L$ 构成了我们的结构

• 空间消耗：$\{\begin{array}{l}内存单元\text{: }O(n\cdot L\cdot \ell )\\ \\ 对象\text{: }O(n\cdot L)\end{array}\to$令$\{\begin{array}{l}\ell ={\log }_{\frac{1}{p_2}}n\\ \\ L=n^{\rho }\end{array}\to$空间复杂度符合$\text{Intro}$中的定理

$\text{3.2. Query }$

1️⃣查询信息：对$q\in U\text{/}S$执行$(r,c)\text{-NN}$查询

2️⃣查询步骤

1. 让$q$分别通过$g_1{g}_2...g_L$哈希函数，分别被分进桶$g_1(q)g_2(q)...g_L(q)$记作$b_1{b}_2...b_L$
2. 让$Z=$ 在$b_1{b}_2...b_L$的多重集并集中任选$2L+1$个
   • 特殊情况：如果$\sum _{i=1}^L|b_i|\le 4L+1$，则$Z$会包括所有桶的所有对象
3. 在$Z$中找到距$q$最近的对象$e$，若$\text{dist}(q,e)\le cr$则返回$e$

3️⃣查询时间：$\{\begin{array}{l}原子操作\text{: }O\left(t_{lsh}\cdot \ell \cdot L\right)\\ \\ 计算距离\text{: }O(L)\end{array}\to$令$\{\begin{array}{l}\ell ={\log }_{\frac{1}{p_2}}n\\ \\ L=n^{\rho }\end{array}\to$时间复杂度符合$\text{Intro}$中的定理

$\text{3.3. Analysis }$

0️⃣$\text{Good}$的标准：$x\in S$是$\text{good}\iff \text{dist}(q,x)\le cr$ 否则就为$\text{Bad}$，算法至少返回一个$\text{good}$才成功

1️⃣引理$1\text{: }$查询能被正确回答，需要满足以下两个条件

1. $C1：$$e^{\ast }$至少出现在$b_1,\dots ,b_L$中的一个
2. $C2：$$b_1{b}_2...b_L$的多重集并集中，至少含有$2L$个$\text{bad}$对象

2️⃣引理$2$：$C1$不成立的概率小于$\frac{1}{e}$，即$\text{Pr}\left[e^{\ast }\notin \bigcup _{i=1}^L{b}_i\right]\le \frac{1}{e}$ ，其中这个$e=\mathrm{2.718...}$

3️⃣引理$3$：$C2$不成立的概率小于$\frac{1}{2}$

🤕所以$\mathbf{C}1$和$\mathbf{C}2$同时成立的概率至少为$1-(\frac{1}{e}+\frac{1}{2})>0.1$