1 散度与通量，旋度与环量
散度与旋度分别是通量与环量的量纲——即：通量与环量看成一个整体，而散度与旋度是对应整体中一个小的组成部分，所以说散度与旋度是微分形式，通量与环量是积分形式
- 散度与通量
通量： Φ = ∯ S A ⃗ ⋅ d S ⃗ = ∭ V ∇ ⋅ A ⃗ ⋅ d V 通量：\Phi=\oiint\limits_{S}\vec{A}\cdot d\vec{S}=\iiint\limits_{V}\nabla\cdot\vec{A}\cdot dV 通量：Φ=S∬A⋅dS=V∭∇⋅A⋅dV
散度： d i v A ⃗ = ∇ ⋅ A ⃗ 散度：div\vec{A}=\nabla\cdot\vec{A} 散度：divA=∇⋅A
通量是 A ⃗ \vec{A} A的闭合曲面的面积，也是散度的体积分
散度可以看做一个一个点 - 旋度与环量
环量： Γ = ∮ l B ⃗ ⋅ d l ⃗ = ∬ S ∇ × B ⃗ ⋅ d S ⃗ 环量：\Gamma=\oint\limits_{l}\vec{B}\cdot d\vec{l}=\iint\limits_{S}\nabla\times\vec{B}\cdot d\vec{S} 环量：Γ=l∮B⋅dl=S∬∇×B⋅dS
旋度： r o t A ⃗ = ∇ × B ⃗ 旋度：rot\vec{A}=\nabla\times\vec{B} 旋度：rotA=∇×B
环量是 B ⃗ \vec{B} B的闭合曲线的线积分，也是旋度的面积分
旋度可以看做一个一个小电风扇
2 静电场
∇ ⋅ E ⃗ = { 0 ，体外 ρ ϵ 0 ，体内 \nabla\cdot\vec{E}= \begin{cases} 0 ，体外\\ \frac{\rho}{\epsilon_0}，体内\\ \end{cases} ∇⋅E={0，体外ϵ0ρ，体内
∇ × E ⃗ = 0 \nabla\times\vec{E}=0 ∇×E=0
所以说：静电场是有散无旋场
-
静电场的高斯定理
∯ S E ⃗ ⋅ d S ⃗ = 1 ϵ 0 ∫ V ρ ⋅ d V = q ϵ 0 \oiint\limits_{S}\vec{E}\cdot d\vec{S}=\frac{1}{\epsilon_0}\int\limits_{V}\rho\cdot dV=\frac{q}{\epsilon_0} S∬E⋅dS=ϵ01V∫ρ⋅dV=ϵ0q -
电介质中静电场（多了极化电荷 q p q_p qp，极化强度矢量 P ⃗ \vec{P} P）
高斯定理改为了： ∯ S E ⃗ ⋅ d S ⃗ = q + q p ϵ 0 \oiint\limits_{S}\vec{E}\cdot d\vec{S}=\frac{q+q_p}{\epsilon_0} S∬E⋅dS=ϵ0q+qp
推出
∯ S ϵ 0 E ⃗ ⋅ d S ⃗ = q + q p \oiint\limits_{S}\epsilon_0\vec{E}\cdot d\vec{S}=q+q_p S∬ϵ0E⋅dS=q+qp
且根据
q p = − ∮ S P ⋅ d S ⃗ q_p=-\oint\limits_{S}P\cdot d\vec{S} qp=−S∮P⋅dS
则：
∯ S ( ϵ 0 E ⃗ + P ⃗ ) ⋅ d S ⃗ = q \oiint\limits_{S}(\epsilon_0\vec{E}+\vec{P})\cdot d\vec{S}=q S∬(ϵ0E+P)⋅dS=q
其中电位移矢量为 D ⃗ = ϵ 0 E ⃗ + P ⃗ \vec{D}=\epsilon_0\vec{E}+\vec{P} D=ϵ0E+P，则：
∯ S D ⃗ ⋅ d S ⃗ = q \oiint\limits_{S}\vec{D}\cdot d\vec{S}=q S∬D⋅dS=q
即：电位移矢量穿过任一闭合曲面的通量等于该闭合曲面的自由电荷量
∯ S D ⃗ ⋅ d S ⃗ = ∫ V ∇ ⋅ D ⃗ ⋅ d V = q = ∫ V ρ ⋅ d V \oiint\limits_{S}\vec{D}\cdot d\vec{S}=\int\limits_{V}\nabla\cdot\vec{D}\cdot dV=q=\int\limits_{V}\rho\cdot dV S∬D⋅dS=V∫∇⋅D⋅dV=q=V∫ρ⋅dV推出散度： ∇ ⋅ D ⃗ = ρ \nabla\cdot\vec{D}=\rho ∇⋅D=ρ
这里也可以看出来积分是 q q q（积分形式），被积函数是 ρ \rho ρ（也就是微分形式）
3 恒定磁场
∇ ⋅ E ⃗ = 0 \nabla\cdot\vec{E}=0 ∇⋅E=0
∇ × E ⃗ = μ 0 J ⃗ \nabla\times\vec{E}=\mu_0\vec{J} ∇×E=μ0J
所以说：恒定磁场是有旋无散场
- 磁介质中恒定磁场（电流密度矢量 J M ⃗ \vec{J_M} JM，磁化强度矢量 M ⃗ \vec{M} M）
磁化电流：
I M = ∮ l M ⃗ ⋅ d l ⃗ = ∫ S ∇ × M ⃗ ⋅ d S ⃗ = ∫ S J M ⃗ ⋅ d S ⃗ I_M=\oint\limits_{l}\vec{M}\cdot d\vec{l}=\int\limits_{S}\nabla\times\vec{M}\cdot d\vec{S}=\int\limits_{S}\vec{J_M}\cdot d\vec{S} IM=l∮M⋅dl=S∫∇×M⋅dS=S∫JM⋅dS
推出微分形式：
∇ × M ⃗ = J M ⃗ \nabla\times\vec{M}=\vec{J_M} ∇×M=JM
另外安培环路
∮ l B ⃗ ⋅ d l ⃗ = μ 0 ( I + I M ) \oint\limits_{l}\vec{B}\cdot d\vec{l}=\mu_0(I+I_M) l∮B⋅dl=μ0(I+IM)
同上有磁场强度： H ⃗ = B ⃗ μ 0 − M ⃗ \vec{H}=\frac{\vec{B}}{\mu_0}-\vec{M} H=μ0B−M，所以有：
∮ l H ⃗ ⋅ d l ⃗ = I \oint\limits_{l}\vec{H}\cdot d\vec{l}=I l∮H⋅dl=I
微分形式有：
∫ S ∇ × H ⃗ = ∫ S J ⃗ ⋅ d S ⃗ \int\limits_{S}\nabla\times\vec{H}=\int\limits_{S}\vec{J}\cdot d\vec{S} S∫∇×H=S∫J⋅dS
推出： ∇ × H ⃗ = J ⃗ \nabla\times\vec{H}=\vec{J} ∇×H=J