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本节是使用代数而不是消元法来求解 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 和 $A^{-1}$。所有的公式都会除以 $\det A$，$A^{-1}$ 和 $A^{-1}\mathbf{b}$ 中的每个元素都是一个行列式除以 $A$ 的行列式。

一、克拉默法则

克拉默法则（Cramer’s Rule）用来求解 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$。一个简洁的的公式得到第一分量 $x_1$，将单位矩阵 $I$ 的第一列用 $\mathbf{x}$ 代替，得到一个行列式为 $x_1$ 的矩阵。如果用 $A$ 乘上这个矩阵，第一列会得到 $A\mathbf{x}$ 也就是 $\mathbf{b}$。$B_1$ 的其它列和 $A$ 一样：$$关键思想\left[\begin{array}{ccc}& & \\ & A& \\ & & \end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}{x}_1& 0& 0\\ x_2& 1& 0\\ x_3& 0& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{b}_1& a_{12}& a_{13}\\ b_2& a_{22}& a_{23}\\ b_3& a_{32}& a_{33}\end{array}\right]=B_1(\mathrm{5.3.1})$$一次乘一列。上式对三个矩阵去行列式可以求得 $x_1$：$$\boxed{乘积规则(\det A)(x_1)=\det B_1或x_1=\frac{\det B_1}{\det A}}(\mathrm{5.3.2})$$这是用克拉默法则求得的 $\mathbf{x}$ 的第一分量，改变 $A$ 的一列得到 $B_1$。要求 $x_2$ 和 $B_2$，将向量 $\mathbf{x}$ 和 $\mathbf{b}$ 放到 $I$ 和 $A$ 的第二列：$$同样的思想\left[\begin{array}{ccc}& & \\ a_1& a_2& a_3\\ & & \end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}1& x_1& 0\\ 0& x_2& 0\\ 0& x_3& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}& & \\ a_1& \mathbf{b}& {\mathbf{a}}_3\\ & & \end{array}\right]=B_2(\mathrm{5.3.3})$$取行列式得 $(\det A)(x_2)=\det B_2$，即可得到 $x_2=\frac{\det B_2}{\det A}$.

【例1】求解 $3x_1+4x_2=2$ 和 $5x_1+6x_2=4$ 需要三个行列式：$$\det A=\left|\begin{array}{cc}3& 4\\ 5& 6\end{array}\right|,\det B_1=\left|\begin{array}{cc}2& 4\\ 4& 6\end{array}\right|,\det B_2=\left|\begin{array}{cc}3& 2\\ 5& 4\end{array}\right|$$$A_1,B_1,B_2$ 的行列式分别是 $-2,-4$ 和 $2$，所有的比值都是除以 $\det A=-2$：$$求解\mathbf{x}=A^{-1}\mathbf{b}：x_1=\frac{-4}{-2}=2,x_2=\frac{2}{-2}=-1,检验\left[\begin{array}{cc}3& 4\\ 5& 6\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}2\\ -1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}2\\ 4\end{array}\right]$$

克拉默法则（CRAMER’s RULE） \kern 5pt 如果 $\det A$ 不为零，$A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 可以由行列式求出：$$x_1=\frac{\det B_1}{\det A}{x}_2=\frac{\det B_2}{\det A}\cdots x_n=\frac{\det B_n}{\det A}(\mathrm{5.3.4})$$矩阵 $B_j$ 是把 $A$ 的第 $j$ 列用向量 $\mathbf{b}$ 替换。

要求洁 $n\times n$ 的系统，克拉默法则要计算 $n+1$ 个行列式（$A$ 和 $n$ 个不同的 $B$），每个行列式都是 $n!$ 个项的和 —— 使用所有排列的 “大公式”，这些总共会有 $(n+1)!$ 项。使用这种方法来求解那无疑是疯狂的，但是我们最终有了一个明确的求解 $\mathbf{x}$ 的公式。

二、逆矩阵

【例2】克拉默法则对于数字来说没什么效率，但是确很适合字母。对于 $n=2$ 的情况，通过求解 $A{A}^{-1}=I$ 得到 $A^{-1}=\left[\begin{array}{cc}\mathbf{x}& \mathbf{y}\end{array}\right]$ 的列：$$A^{-1}的列是\mathbf{x}和\mathbf{y}\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{y}_1\\ y_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]$$它们有相同的矩阵 $A$，我们需要 $|A|$ 和关于 $x_1,x_2,y_1,y_2$ 的四个行列式：$$\left|\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right|和\left|\begin{array}{cc}1& b\\ 0& d\end{array}\right|,\left|\begin{array}{cc}a& 1\\ c& 0\end{array}\right|,\left|\begin{array}{cc}0& b\\ 1& d\end{array}\right|,\left|\begin{array}{cc}a& 0\\ c& 1\end{array}\right|$$后四个行列式分别是 $d,-c,-b,a$（它们都是代数余子式！）下面是 $A^{-1}$：$$x_1=\frac{d}{|A|},x_2=\frac{-c}{|A|},y_1=\frac{-b}{|A|},y_2=\frac{a}{|A|}，则A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\left[\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right]$$这里选择 $2\times 2$ 的矩阵，重点会很清晰。新的概念是：$A^{-1}$ 和代数余子式有关。当右侧是单位矩阵 $I$ 的一列，就如同 $A{A}^{-1}=I$，克拉默法则中的每个 $B_j$ 的行列式都是 $A$ 的一个代数余子式。
对于 $n=3$ 的情况也可以看到这些代数余子式，求解 $A\mathbf{x}=(1,0,0)$ 来得到 $A^{-1}$ 的第 $1$ 列：$$\begin{array}{l}{B}^{\prime }s的行列式\\ =A的代数余子式\end{array}\left|\begin{array}{ccc}1& a_{12}& a_{13}\\ 0& a_{22}& a_{23}\\ 0& a_{32}& a_{33}\end{array}\right|\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& 1& a_{13}\\ a_{21}& 0& a_{23}\\ a_{31}& 0& a_{33}\end{array}\right|\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& 1\\ a_{21}& a_{22}& 0\\ a_{31}& a_{32}& 0\end{array}\right|(\mathrm{5.3.5})$$第一个行列式 $|B_1|$ 是代数余子式 $C_{11}=a_{22}{a}_{33}-a_{23}{a}_{32}$，第二个行列式 $|B_2|$ 是代数余子式 $C_{12}$，注意前面有一个负号 $-(a_{21}{a}_{33}-a_{23}{a}_{31})$，这个代数余子式 $C_{12}$ 在 $A^{-1}$ 的第一列，当我们除以 $\det A$，就可以得到逆矩阵！

$A^{-1}$ 的第 $i,j$ 元素是代数余子式 $C_{ji}$（不是 $C_{ij}$）除以 $\det A$：$$A^{-1}的公式(A^{-1}{)}_{ij}=\frac{C_{ji}}{\det A}和A^{-1}=\frac{C^T}{\det A}(\mathrm{5.3.6})$$

代数余子式 $C_{ij}$ 进到 “代数余子式矩阵”（cofactor matrix）$C$，$C$ 的转置得到 $A^{-1}$，$C^T$ 称为伴随矩阵。要计算 $A^{-1}$ 的第 $i,j$ 元素，去掉 $A$ 的第 $j$ 行和第 $i$ 列的行列式，然后 $(-1{)}^{i+j}$ 乘上这个行列式得到代数余子式 $C_{ji}$，最后再除以 $\det A$。
用 $A^{-1}$ 的第 $3,1$ 个元素来检验一下这个规则。对于列 $1$ 我们要求解 $A\mathbf{x}=(1,0,0)$，第三个分量 $x_3$ 是式（5.3.5）的第三个行列式除以 $\det A$，这个行列式就是代数余子式 $C_{13}=a_{21}{a}_{32}-a_{22}{a}_{31}$。所以 $(A^{-1}{)}_{31}=C_{13}/\det A$。
总结： 求解 $A{A}^{-1}=I$ 时，$I$ 的每一列得到 $A^{-1}$ 的每一列。$A^{-1}$ 的每个元素都是一个比值：大小为 $n-1$ 的行列式 / 大小为 $n$ 的行列式。
直接证明公式 $A^{-1}=C^T/\det A$ ：即 $A{C}^T=(\det A)I$：

$$\left[\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}{C}_{11}& C_{21}& C_{31}\\ C_{12}& C_{22}& C_{32}\\ C_{13}& C_{23}& C_{33}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}\det A& 0& 0\\ 0& \det A& 0\\ 0& 0& \det A\end{array}\right](\mathrm{5.3.7})$$

$(A的第1行)$ 乘 $(C^T的第1列)$ 得到右侧的第一个 $\det A$：$$a_{11}{C}_{11}+a_{12}{C}_{12}+a_{13}{C}_{13}=\det A这个就是代数余子式公式！$$同理，$A$ 的第 $2$ 行乘 $C^T$（注意转置） 的第 $2$ 列也得到 $\det A$，元素 $a_{2j}$ 应乘上代数余子式 $C_{2j}$ 以得到行列式。
下面解释式（5.3.7）中的非对角线元素为什么是零？$A$ 的行乘上不同行的代数余子式，为什么是零呢？$$\begin{array}{c}A的第2行\\ C的第1行\end{array}{a}_{21}{C}_{11}+a_{22}{C}_{12}+a_{23}{C}_{13}=0(\mathrm{5.3.8})$$原因：这是一个新矩阵的代数余子式公式，将 $A$ 的第二行复制到它的第一行，则新矩阵 $A^{\ast }$ 就有两个相等的行，所以式（5.3.8）中的 $\det A^{\ast }=0$，注意 $A^{\ast }$ 和 $A$ 有相同的代数余子式 $C_{11},C_{12},C_{13}$，因为除了第一行其它行都是一样的。所以式（5.3.7）是正确的：$$A{C}^T=(\det A)I或A^{-1}=\frac{C^T}{\det A}$$【例3】“求和矩阵” $A$ 的行列式为 $1$，则 $A^{-1}$ 只包含代数余子式：$$A=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 1& 1& 0& 0\\ 1& 1& 1& 0\\ 1& 1& 1& 1\end{array}\right]的逆矩阵是A^{-1}=\frac{C^T}{1}=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ -1& 1& 0& 0\\ 0& -1& 1& 0\\ 0& 0& -1& 1\end{array}\right]$$去掉 $A$ 的第 $1$ 行和第 $1$ 列可得 $3\times 3$ 的代数余子式 $C_{11}=1$，然后去掉 $A$ 的第 $1$ 行和第 $2$ 列得到 $C_{12}$，这个 $3\times 3$ 的子矩阵仍然是三角形的，行列式为 $1$，但是由于符号是 $(-1{)}^{1+2}$，所以代数余子式 $C_{12}$ 是 $-1$，这个 $-1$ 是 $A^{-1}$ 的元素 $(2,1)$，不要忘了 $C$ 需要转置。
三角矩阵的逆矩阵也是三角矩阵。代数余子式可以给出解释。

【例4】如果所有的代数余子式都不是零，那么 $A$ 一定是可逆的吗？
\kern 5pt 答： 不可能 !

三、三角形的面积

我们都知道矩形的面积是底乘高，三角形的面积是底乘高的一半。但是下面这个问题无法用这些公式来回答。如果我们已知三角形的三个角 $(x_1,y_1),(x_2,y_2)$ 和 $(x_3,y_3)$，它的面积是多少？用这些角求出底和高并不算是一个好方法。
这个问题行列式是求面积最好的方法。三角形的面积是一个 $3\times 3$ 的行列式的一半。这里并不会出现底和高中的那些平方根。如果一个角是原点，即 $(x_3,y_3)=(0,0)$，则行列式只是一个 $2\times 2$ 的。

三角形的三个角在 $(x_1,y_1),(x_2,y_2)$ 和 $(x_3,y_3)$，则它的 面积 = 行列式/2：$$三角形的面积\frac{1}{2}\left|\begin{array}{ccc}{x}_1& y_1& 1\\ x_2& y_2& 1\\ x_3& y_3& 1\end{array}\right|当(x_3,y_3)=(0,0)时，面积=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{cc}{x}_1& y_1\\ x_2& y_2\end{array}\right|$$

若在 $3\times 3$ 的行列式中令 $x_3=y_3=0$，则通过代数余子式展开就可以得到一个 $2\times 2$ 的行列式，这些公式没有平方根，也很容易记忆。$3\times 3$ 的行列式利用代数余子式展开可以分成 $3$ 个 $2\times 2$ 的行列式，就如 Figure 5.1 中的第三个三角形，分成了三个一个角为 $(0,0)$ 的特殊三角形：$$面积=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{ccc}{x}_1& y_1& 1\\ x_2& y_2& 1\\ x_3& y_3& 1\end{array}\right|=\frac{1}{2}(x_1{y}_2-x_2{y}_1)+\frac{1}{2}(x_2{y}_3-x_3{y}_2)+\frac{1}{2}(x_3{y}_1-x_1{y}_3)(\mathrm{5.3.9})$$如果 $(0,0)$ 在三角形的外面，则其中两个三角形的面积可能是负的，但是和是对的。真正的问题是解释一个角是 $(0,0)$ 的三角形的面积。
为什么 $\frac{1}{2}|x_1{y}_2-x_2{y}_1|$ 是三角形的面积呢？我们将因数 $\frac{1}{2}$ 移去，将剩下的当成一个平行四边形（面积变为原来的两倍，因为平行四边形包含两个相等的三角形）。现在证明平行四边形的面积是行列式 $x_1{y}_2-x_2{y}_1$，Figure 5.2 中的面积是 $11$，因此三角形的面积是 $\frac{11}{2}$。

$$证明从(0,0)开始的平行四边形的面积=2\times 2的行列式$$证明的方法有很多种，这里选择从行列式的性质来证明。我们要证明面积和行列式有同样的性质 $1-2-3$，则 面积 = 行列式 ！满足这三个性质就可以定义行列式，然后推出其它的所有性质。

1. 当 $A=I$，平行四边形将变成一个单位的正方形，它的面积是 $\det I=1$。
2. 若进行行交换，行列式的符号会反转。绝对值（正的面积）保持不变，这是因为它是相同的平行四边形。
3. 如果行 $1$ 乘上 $t$，Figure 5.3a 表示面积也会乘上 $t$。假设一个新行 $(x_1^{\prime },y_1^{\prime })$ 加到 $(x_1,y_1)$（第 $2$ 行固定），Figure 5.3b 表明实线平行四边形的面积加起来等于虚线平行四边形的面积（因为两个虚线三角形的面积相等），注意这个图都是在同一平面上，而不是立体的！

这是一个奇异的证明，我们使用了平面几何的知识。但是这个证明的主要吸引力是它也适用于 $n$ 维的情形。从原点出发的 $n$ 个边得到一个 $n\times n$ 矩阵的行，这个盒子会有更多的边来完成，就行平行四边形一样。
Figure 5.4 画出了一个三维的盒子，它的边都不是直角。它的体积等于 $\det A$ 的绝对值。我们证明需要再次验证这个体积满足行列式的性质 $1-3$。当一条边被因数 $t$ 拉伸，它的体积会乘上 $t$。若边 $1$ 加到边 $1^{\prime }$ 上，体积将会是两个原始体积之和。这是将 Figure 5.3b 提升至三维甚至是 $n$ 维的情况，再高的维度我们就无法画出了。

单位立方体的体积 = $1$，就是 $\det I$。行交换即是边的交换得到相同的盒子，它们体积的绝对值是相等的。行列式改变符号，表明是右手系（$\det A>0$）或是左手系（$\det A<0$）。盒子的体积满足行列式的性质，所以体积 = $\det A$ 的绝对值。

【例5】假设一个矩形盒子（$90°$ 角）的边长是 $r,s,t$，则它的体积是 $r$ 乘 $s$ 乘 $t$。对角矩阵 $A$ 的元素 $r,s,t$ 生成这三个边，$\det A$ 也等于体积 $rst$。

【例6】微积分中，盒子是无限小的！若要对一个圆积分，我们可能要将 $x$ 和 $y$ 转变成 $r$ 和 $\theta$，这是极坐标系的转换：$x=r\cos \theta ，y=r\sin \theta$。极坐标盒子的面积是行列式 $J$ 乘 $\text{d}r\text{d}\theta$：$$微积分中的面积J=\left|\begin{array}{cc}\partial x/\partial r& \partial x/\partial \theta \\ \partial y/\partial r& \partial y/\partial \theta \end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}\cos \theta & -r\sin \theta \\ \sin \theta & r\cos \theta \end{array}\right|=r$$在小面积 $\text{d}A=r\text{d}r\text{d}\theta$ 的行列式是 $r$，拉伸因子 $J$ 进到双重积分，就像 $\text{d}x/\text{d}u$ 进入到正常积分 $\int \text{d}x=\int (\text{d}x/\text{d}u)\text{d}u$。在三重积分中，$3\times 3$ 的雅可比矩阵有 $9$ 个导数。

四、叉积

叉积（cross product）是行列式的另一个应用，尤其对于三维情况。从向量 $\mathbf{u}=(u_1,u_2,u_3)$ 和 $\mathbf{v}=(v_1,v_2,v_3)$ 开始，它不像点积是一个数字，叉积是一个向量 —— 也是三维的。写作 $\mathbf{u}\times \mathbf{v}$，读作 $\mathbf{u}$ 叉乘（cross）$\mathbf{v}$。叉积的分量是 $2\times 2$ 的代数余子式，下面会有叉积的一些性质，这些性质使得 $\mathbf{u}\times \mathbf{v}$ 在几何学和物理学中非常有用。
叉积的定义：

定义：$\mathbf{u}=(u_1,u_2,u_3)$ 和 $\mathbf{v}=(v_1,v_2,v_3)$ 的叉积是一个向量$$\mathbf{u}\times \mathbf{v}=\left|\begin{array}{ccc}\mathbf{i}& \mathbf{j}& \mathbf{k}\\ u_1& u_2& u_3\\ v_1& v_2& v_3\end{array}\right|=(u_2{v}_3-u_3{v}_2)\mathbf{i}+(u_3{v}_1-u_1{v}_3)\mathbf{j}+(u_1{v}_2-u_2{v}_1)\mathbf{k}(\mathrm{5.3.10})$$向量 $\mathbf{u}\times \mathbf{v}$ 垂直于 $\mathbf{u}$ 和 $\mathbf{v}$，叉积 $\mathbf{v}\times \mathbf{u}=-(\mathbf{u}\times \mathbf{v})$。

注解： $3\times 3$ 的行列式是记住 $\mathbf{u}\times \mathbf{v}$ 最简单的方法，这种并不太合法，因为第一行是向量 $\mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}$，后面两行都是数字。在行列式中，向量 $\mathbf{i}=(1,0,0)$ 乘 $u_2{v}_3$ 和 $-u_3{v}_2$，得到的是 $(u_2{v}_3-u_3{v}_2,0,0)$，这就是叉积的第一个分量。
注意下标的循环模式：$2$ 和 $3$ 得到 $\mathbf{u}\times \mathbf{v}$ 的分量 $1$；$3$ 和 $1$ 得到分量 $2$；$1$ 和 $2$ 得到分量 $3$。这些就完成了 $\mathbf{u}\times \mathbf{v}$ 的定义。下面列出叉积的性质：
性质1： $\mathbf{v}\times \mathbf{u}$ 会较好行列式的第 $2$ 行和第 $3$ 行，所以它等于 $-(\mathbf{u}\times \mathbf{v})$。
性质2： 叉积 $\mathbf{u}\times \mathbf{v}$ 垂直于 $\mathbf{u}$（也垂直于 $\mathbf{v}$）。直接的证明就是做点积，展开后各项消去后得到零：$$\mathbf{u}\cdot (\mathbf{u}\times \mathbf{v})=u_1(u_2{v}_3-u_3{v}_2)+u_2(u_3{v}_1-u_1{v}_3)+u_3(u_1{v}_2-u_2{v}_1)=0(\mathrm{5.3.11})$$上式就是 $\mathbf{u}\cdot (\mathbf{u}\times \mathbf{v})$ 的代数余子式公式，这个行列式的行分别是 $\mathbf{u},\mathbf{u}$ 和 $\mathbf{v}$，有两个相等的行，所以结果是零。
性质3： 任何向量与它自己的叉积（两个相等的行）$\mathbf{u}\times \mathbf{u}=0$.
若 $\mathbf{u}$ 和 $\mathbf{v}$ 平行，叉积是零；若 $\mathbf{u}$ 和 $\mathbf{v}$ 垂直，则点积为零。因为一个含有 $\sin \theta$，另一个含有 $\cos \theta$：

$$||\mathbf{u}\times \mathbf{v}||=||\mathbf{u}||||\mathbf{v}|||\sin \theta ||\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}|=||\mathbf{u}||||\mathbf{v}|||\cos \theta |(\mathrm{5.3.12})$$

【例7】$\mathbf{u}=(3,2,0)$ 和 $\mathbf{v}=(1,4,0)$ 在 $xy$ 平面，$\mathbf{u}\times \mathbf{v}$ 沿着 $z$ 轴向上：$$\mathbf{u}\times \mathbf{v}=\left|\begin{array}{ccc}\mathbf{i}& \mathbf{j}& \mathbf{k}\\ 3& 2& 0\\ 1& 4& 0\end{array}\right|=10\mathbf{k}.叉积是\mathbf{u}\times \mathbf{v}=(0,0,10).$$$\mathbf{u}\times \mathbf{v}$ 的长度等于以 $\mathbf{u}$ 和 $\mathbf{v}$ 为边的平行四边形的面积，这个性质很重要，本例中面积是 $10$。

【例8】$\mathbf{u}=(1,1,1)$ 和 $\mathbf{v}=(1,1,2)$ 的叉积是 $(1,-1,0)$：$$\left|\begin{array}{ccc}\mathbf{i}& \mathbf{j}& \mathbf{k}\\ 1& 1& 1\\ 1& 1& 2\end{array}\right|=\mathbf{i}\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 2\end{array}\right|-\mathbf{j}\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 2\end{array}\right|+\mathbf{k}\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 1\end{array}\right|=\mathbf{i}-\mathbf{j}$$向量 $(1,-1,0)$ 垂直于 $(1,1,1)$ 和 $(1,1,2)$，面积是 $\sqrt{2}$。

【例9】$\mathbf{i}=(1,0,0)$ 和 $\mathbf{j}=(0,1,0)$ 的叉积遵循右手规则，叉积 $\mathbf{k}=\mathbf{i}\times \mathbf{j}$ 是向上而不向下：

由右手规则，$\mathbf{i}\times \mathbf{j}=\mathbf{k}$，也可以得到 $\mathbf{j}\times \mathbf{k}=\mathbf{i}$ 和 $\mathbf{k}\times \mathbf{i}=\mathbf{j}$，注意这个循环的顺序。若是相反的顺序（反循环）拇指反向且叉积会指向另一边：$\mathbf{k}\times \mathbf{j}=-\mathbf{i}，\mathbf{i}\times \mathbf{k}=-\mathbf{j}$ 和 $\mathbf{j}\times \mathbf{i}=-\mathbf{k}$。我们从 $3\times 3$ 的行列式中可以看到 $3$ 个正号和 $3$ 个负号。
$\mathbf{u}\times \mathbf{v}$ 的定义可以基于向量，而不是它们的分量：

定义 \kern 5pt $叉积是长度为||\mathbf{u}||||\mathbf{v}|||\sin \theta |的向量$。它的方向垂直于 $\mathbf{u}$ 和 $\mathbf{v}$，方向 “向上” 或 “向下” 由右手规则决定。

这个定义在物理上很有用，$(u_1,u_2,u_3)$ 是一个有质量物体的位置，$(F_x,F_y,F_z)$ 是作用在它上的力，如果 $\mathbf{F}$ 和 $\mathbf{u}$ 平行，则 $\mathbf{u}\times \mathbf{F}=0$ —— 表示没有转动。叉积 $\mathbf{u}\times \mathbf{F}$ 是转动力（turning force）或力矩（torque）。它的指向沿着转动轴（垂直于 $\mathbf{u}$ 和 $\mathbf{F}$），它的长度 $||\mathbf{u}||||\mathbf{F}|||\sin \theta |$ 是产生转动的 “矩”（moment）的量测值。

五、三重积 = 行列式 = 体积

由于 $\mathbf{u}\times \mathbf{v}$ 是一个向量，我们将它与第三个向量 $\mathbf{w}$ 做点积，就得到三重积（triple product）$(\mathbf{u}\times \mathbf{v})\cdot \mathbf{w}$，这个称为 “数量” 三重积，因为它是一个数字，也称为混合积。实际上它也是一个行列式 —— 是边长为 $\mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w}$ 的盒子的体积：$$三重积(\mathbf{u}\times \mathbf{v})\cdot \mathbf{w}=\left|\begin{array}{ccc}{w}_1& w_2& w_3\\ u_1& u_2& u_3\\ v_1& v_2& v_3\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}{u}_1& u_2& u_3\\ v_1& v_2& v_3\\ w_1& w_2& w_3\end{array}\right|(\mathrm{5.3.13})$$我们可以将 $\mathbf{w}$ 放在顶部或者底部，这两个行列式是相等的，因为从一个到另一个行列式需要进行两次行交换。注意当行列式为零时：$$(\mathbf{u}\times \mathbf{v})\cdot \mathbf{w}=0当且仅当向量\mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w}在同一平面上$$原因一：$\mathbf{u}\times \mathbf{v}$ 垂直于这个平面，所以它与 $\mathbf{w}$ 的点积为零。
原因二： 一个平面内的三个向量是相关的，矩阵是奇异的（$\det =0$）。
原因三： 当 $\mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w}$ 的盒子展成一个平面，它的体积为零。
$(\mathbf{u}\times \mathbf{v})\cdot \mathbf{w}$ 等于边是 $\mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w}$ 的盒子的体积这个性质非常重要，这个 $3\times 3$ 的行列式携带了大量的信息。像 $ad-bc$ 对于 $2\times 2$ 的矩阵，它可以分成可逆和奇异。

六、主要内容总结

1. 克拉默法则是用行列式的比值求解 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$，如 $x_1=\frac{|B_1|}{|A|}=\frac{\left|\begin{array}{cccc}\mathbf{b}& {\mathbf{a}}_1& \cdots & {\mathbf{a}}_n\end{array}\right|}{|A|}$。
2. $C$ 是 $A$ 的代数余子式矩阵，$C^T$ 是 $A$ 的伴随矩阵，则逆矩阵 $A^{-1}=\frac{C^T}{\det A}$。
3. 当盒子的边是 $A$ 的行时，盒子的体积是 $|\det A|$。
4. 在二重和三重积分中，面积和体积需要改变变量。
5. 在 ${\text{R}}^3$ 中，叉积 $\mathbf{u}\times \mathbf{v}$ 垂直于 $\mathbf{u}$ 和 $\mathbf{v}$。注意 $\mathbf{i}\times \mathbf{j}=\mathbf{k}$。

七、例题

【例10】如果 $A$ 是奇异的，则方程 $A{C}^T=(\det A)I$ 将变成 $A{C}^T=零矩阵$。$C^T$ 的每一列都在 $A$ 的零空间中，这些列包含沿着 $A$ 的行的代数余子式。所以代数余子式可以快速的找到秩 $2$ 的 $3\times 3$ 的矩阵的零空间。
对于下面秩 $2$ 的奇异矩阵，通过 $\mathbf{x}=沿着一行的代数余子式$ 来求解 $A\mathbf{x}=0$：$$代数余子式得到零空间A=\left[\begin{array}{ccc}1& 4& 7\\ 2& 3& 9\\ 2& 2& 8\end{array}\right]A=\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 2\\ 1& 1& 1\\ 1& 1& 1\end{array}\right]$$解： 第一个矩阵沿着第一行的代数余子式如下（注意每个负号）：$$\left|\begin{array}{cc}3& 9\\ 2& 8\end{array}\right|=6-\left|\begin{array}{cc}2& 9\\ 2& 8\end{array}\right|=2\left|\begin{array}{cc}2& 3\\ 2& 2\end{array}\right|=-2$$则 $\mathbf{x}=(6,2,-2)$ 是 $A\mathbf{x}=0$ 的解。沿着第二行的代数余子式是 $(-18,-6,6)$，这就是 $-3\mathbf{x}$，它也在 $A$ 的一维零空间中。
第二个矩阵沿着第一行的代数余子式都是零，零向量 $\mathbf{x}=(0,0,0)$ 没什么意义，沿着第二行的代数余子式得到 $\mathbf{x}=(1,-1,0)$，它是 $A\mathbf{x}=0$ 的解。
每个秩为 $n-1$ 的 $n\times n$ 矩阵至少有一个沿着某一行非零的代数余子式，但是对于秩 $n-2$ 的矩阵，所有的代数余子式都为零，我们就只能找到 $\mathbf{x}=0$ 这一个解。

【例9】使用克拉默法则的比值 $\frac{\det B_j}{\det A}$ 来求解 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$，也求出逆矩阵 $A^{-1}=\frac{C^T}{\det A}$。对于 $\mathbf{b}=(0,0,1)$，解 $\mathbf{x}$ 是 $A^{-1}$ 的第 $3$ 列! 在计算列 $\mathbf{x}=(x,y,z)$ 时，都和那些代数余子式相关？$$A^{-1}的第3列\left[\begin{array}{ccc}2& 6& 2\\ 1& 4& 2\\ 5& 9& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right]$$求两个盒子的体积：边是 $A$ 的列和边是 $A^{-1}$ 的行。
解： $B_j$ 的行列式（右侧的 $\mathbf{b}$ 代替第 $j$ 列）是：$$|B_1|=\left|\begin{array}{ccc}0& 6& 2\\ 0& 4& 2\\ 1& 9& 0\end{array}\right|=4|B_2|=\left|\begin{array}{ccc}2& 0& 2\\ 1& 0& 2\\ 5& 1& 0\end{array}\right|=-2|B_3|=\left|\begin{array}{ccc}2& 6& 0\\ 1& 4& 0\\ 5& 9& 1\end{array}\right|=2$$这些就是第 $3$ 行的代数余子式 $C_{31},C_{32},C_{33}$，它们与第三行的点积是 $\det A=2$：$$\det A=a_{31}{C}_{31}+a_{32}{C}_{32}+a_{33}{C}_{33}=(5,9,0)\cdot (4,-2,2)=2$$这三个比值 $\frac{\det B_j}{\det A}$ 得到解的三个分量 $\mathbf{x}=(2,-1,1)$，这个 $\mathbf{x}$ 就是 $A^{-1}$ 的第三列，因为 $\mathbf{b}=(0,0,1)$ 是 $I$ 的第三列。
沿着 $A$ 其它行的代数余子式，除以 $\det A$，得到 $A^{-1}$ 的其它列：$$A^{-1}=\frac{C^T}{\det A}=\frac{1}{2}\left[\begin{array}{ccc}-18& 18& 4\\ 10& -10& -2\\ -11& 12& 2\end{array}\right].验证A{A}^{-1}=I$$边是 $A$ 的列盒子的体积 $=\det A=2$，边是 $A$ 的行的盒子的体积也是 $2$，因为 $|A^T|=|A|$。边是 $A^{-1}$ 行的盒子体积是 $\frac{1}{|A|}=\frac{1}{2}$。