1.题目概述
编写一个算法来判断一个数 n 是不是快乐数。
「快乐数」 定义为：
- 对于一个正整数，每一次将该数替换为它每个位置上的数字的平方和。
- 然后重复这个过程直到这个数变为 1，也可能是 无限循环 但始终变不到 1。
- 如果这个过程 结果为 1，那么这个数就是快乐数。
如果 n 是 快乐数 就返回 true ；不是，则返回 false 。
示例 1：
输入：n = 19 输出：true 解释： 12 + 92 = 82 82 + 22 = 68 62 + 82 = 100 12 + 02 + 02 = 1
示例 2：
输入：n = 2 输出：false
提示：
1 <= n <= 231 - 1
2.题目分析
快乐数的定义是基于一个计算过程，即对一个正整数，不断将其替换为它各个位上数字的平方和，如果最终这个过程能够收敛到1，则这个数被称为快乐数。相反，如果在这个过程中形成了一个不包含1的循环，则该数不是快乐数。对于非快乐数，它们的平方和序列会进入一个固定的循环，例如4 → 16 → 37 → 58 → 89 → 145 → 42 → 20 → 4。
为了证明每个循环的数字都是一样的，我们可以使用数学中的不动点理论。在一个有限的系统中，重复应用一个确定的操作最终会达到一个循环，这是因为系统的状态是有限的。在快乐数的情况下，由于每次计算都是基于有限的数字（0-9）的平方，因此可能的结果也是有限的。这意味着，如果我们从某个数字开始，不断重复计算它的各位数字的平方和，最终必然会进入一个循环，因为可能的平方和是有限的，而且每次计算都是确定性的。
此外，由于每个非快乐数都会进入一个固定的循环，而这个循环不包含1，这意味着循环中的所有数字都是固定的，并且每次遇到同一个数字时，都会得到相同的下一个数字。这就是为什么每个循环的数字都是一样的。
综上所述，我们可以得出结论，对于非快乐数，它们在重复计算各位数字的平方和的过程中不仅会形成一个循环，而且每个循环中的数字都是一样的。这一结论是基于有限性原理和确定性操作的重复应用。
因此我们可以使用哈希表和快慢指针来解决问题。
注意：此题不建议用集合记录每次的计算结果来判断是否进入循环，因为这个集合可能大到无法存储；另外，也不建议使用递归，同理，如果递归层次较深，会直接导致调用栈崩溃。不要因为这个题目给出的整数是 int 型而投机取巧。
3.题解
1.哈希表法
int getSum(int n)
{int sum = 0;while (n) {sum += (n % 10) * (n % 10);n /= 10;}return sum;
}bool isHappy(int n){int sum = getSum(n);int hash[820] = {0};//核心思想:若某个数字重复出现了,则这个数字永远不可能会等于1while (sum != 1) {if (hash[sum] == 1) return false;else hash[sum]++;sum = getSum(sum);}return true;
}
2.快慢指针
int getSum(int n)
{int sum = 0;while (n) {sum += (n % 10) * (n % 10);n /= 10;}return sum;
}bool isHappy(int n){int slow = getSum(n); //慢指针走一步int fast = getSum(slow); //快指针走两步while(1){if( slow==1 || fast==1 )return true;if(slow == fast)return false;slow=getSum(slow); //走一步fast=getSum(getSum(fast)); //走两步}
}