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【高等数学&学习记录】数列的极限

从事测绘工作多年，深刻感受到基础知识的重要及自身在这方面的短板。
为此，打算重温测绘工作所需基础知识。练好基本功，为测绘工作赋能。

1 知识点

1.1 数列极限的定义

设 $\lbrace x_n \rbrace$ 为一数列，如果存在常数 $a$ ，对于任意给定的正数 $\epsilon$ (不论它多么小)，总存在正整数 $N$ ，使得当 $n > N$ 时，不等式 $\begin{vmatrix} x_n-a \end{vmatrix} < \epsilon$ 都成立，那么就称常数 $a$ 是数列 $\lbrace x_n\rbrace$ 的极限，或者称数列 $\lbrace x_n\rbrace$ 收敛于 $a$ ，记为 $\lim_{n\rightarrow \infty}x_n=a,$ 或 $x_n\rightarrow a(n\rightarrow \infty).$

1.2 收敛数列的性质

定理1（极限的唯一性）
如果数列 $\lbrace x_n\rbrace$ 收敛，那么它的极限唯一。
定理2（收敛数列的有界性）
如果数列 $\lbrace x_n\rbrace$ 收敛，那么数列 $\lbrace x_n\rbrace$ 一定有界。
定理3（收敛数列的保号性）
如果 $\lim_{n\rightarrow \infty}x_n=a$ ，且 $a > 0$ (或 $a < 0$ )，那么存在正整数 $N > 0$ ，当 $n > N$ 时，都有 $x_n>0$ (或 $x_n<0$ )。
推论
如果数列 $\lbrace x_n\rbrace$ 从某项起有 $x_n\geq 0$ (或 $x_n\leq 0$ )，且 $\lim_{n\rightarrow \infty}x_n=a$ ，那么 $a\geq 0$ (或 $a\leq 0$ )。
定理4（收敛数列与其子数列间的关系）
如果数列 $\lbrace x_n\rbrace$ 收敛于 $a$ ，那么它的任一子数列也收敛，且极限也是 $a$ 。

2 练习题

2.1

【题目】
下列各题中，哪些数列收敛？哪些数列发散？对收敛数列，通过观察 $\lbrace x_n\rbrace$ 的变化趋势，写出它们的极限。
【解答】
(1) $x_n=\frac{1}{2^n}$
收敛， $\lim_{n\rightarrow \infty}x_n=0$ 。

(2) $x_n=(-1)^n\frac{1}{n}$
收敛， $\lim_{n\rightarrow \infty}x_n=0$ 。

(3) $x_n=2+\frac{1}{n^2}$
收敛， $\lim_{n\rightarrow \infty}x_n=2$ 。

(4) $x_n=\frac{n-1}{n+1}$
收敛，原式 $=lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1-\frac{1}{n}}{1+\frac{1}{n}}=1$ 。

(5) $x_n=n(-1)^n$
发散。

(6) $x_n=\frac{2^n-1}{3^n}$
收敛，原式 $=\lim_{n\rightarrow\infty} [(\frac{2}{3})^n-(\frac{1}{3})^n]=0$ 。

(7) $x_n=n-\frac{1}{n}$
发散。

(8) $x_n=[(-1)^n+1]\frac{n+1}{n}$
发散。当 $n$ 为偶数时， $lim_{x_n}=2$ ；当 $n$ 为奇数时， $lim_{x_n}=0$ .

2.2

【题目】
设数列 $\lbrace x_n\rbrace$ 的一般项 $x_n=\frac{1}{n}cos\frac{n\pi}{2}$ .问 $\lim_{n\rightarrow \infty}x_n=?$ 求出 $N$ ，使当 $n > N$ 时， $x_n$ 与其极限之差的绝对值小于正数 $\epsilon$ 。当 $\epsilon=0.001$ 时，求出数 $N$ 。
【解答(1)】
$\lim_{n\rightarrow\infty}x_n=0$ 。
【解答(2)】
$\forall \epsilon >0$ ，取 $N=[\frac{1}{\epsilon}]$ ，当 $n > N$ 时, $\begin{vmatrix}x_n-0\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}\frac{1}{n}cos\frac{n\pi}{2} \end{vmatrix}\leq\frac{1}{n}\leq \epsilon$ 。
【解答(3)】
当 $\epsilon = 0.001$ 时， $N=[\frac{1}{\epsilon}]=1000$ 。

2.3

【题目】
根据数列极限的定义证明：
【证明】
(1) $\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{1}{n^2}=0$
$\begin{vmatrix}\frac{1}{n^2}-0\end{vmatrix}=\frac{1}{n^2}<\frac{1}{n}$
$\forall \epsilon > 0$ ，取 $N=[\frac{1}{\epsilon}]$ ，当 $n > N$ 时，有 $\frac{1}{n}<\epsilon$ ，得 $\begin{vmatrix}\frac{1}{n^2}-0\end{vmatrix}<\epsilon$ ，
可证 $\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{1}{n^2}=0$ 。
(2) $\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{3n+1}{2n+1}=\frac{3}{2}$
$\begin{vmatrix}\frac{3n+1}{2n+1}-\frac{3}{2}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}\frac{-1}{2(2n+1)}\end{vmatrix}<\frac{1}{n}$
$\forall \epsilon >0$ ，取 $N=\frac{1}{\epsilon}$ ，当 $n > N$ 时，有 $\frac{1}{n}<\epsilon$ ，得 $\begin{vmatrix}\frac{3n+1}{2n+1}-\frac{3}{2}\end{vmatrix}<\epsilon$ ，
可证 $\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{3n+1}{2n+1}=\frac{3}{2}$ 。
(3) $\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{\sqrt{n^2+a^2}}{n}=1$
$\begin{vmatrix}\frac{\sqrt{n^2+a^2}}{n}-1\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}\frac{\sqrt{n^2+a^2}-n}{n}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}\frac{(\sqrt{n^2+a^2}-n)(\sqrt{n^2+a^2}+n)}{n(\sqrt{n^2+a^2}+a)}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}\frac{a^2}{n(\sqrt{n^2+a^2}+a}\end{vmatrix}<\frac{a^2}{n}$
$\forall \epsilon > 0$ ，取 $N=[\frac{a^2}{\epsilon}]$ ，当 $n > N$ 时，有 $\frac{a^2}{n}<\epsilon$ ，得 $\begin{vmatrix}\frac{\sqrt{n^2+a^2}}{n}-1\end{vmatrix}<\epsilon$ ，
可证 $\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{\sqrt{n^2+a^2}}{n}=1$ 。
(4) $\lim_{n\rightarrow\infty}0.\underbrace{999\dots9}_{n个}=1$
$\begin{vmatrix}0.\underbrace{999\dots 9}_{n个}-1 \end{vmatrix}=0.\underbrace{000\dots 0}_{n-1个}1=\frac{1}{10^n}<\frac{1}{n}$ ，
$\forall \epsilon>0$ ，取 $N=[\frac{1}{\epsilon}]$ ，有 $\frac{1}{n}<\epsilon$ ，得 $\begin{vmatrix}0.\underbrace{999\dots 9}_{n个}-1 \end{vmatrix}<\epsilon$ ，
可证 $\lim_{n\rightarrow\infty}0.\underbrace{999\dots9}_{n个}=1$ 。

2.4

【题目】
若 $\lim_{n\rightarrow\infty}u_n=a$ ，证明： $\lim_{n\rightarrow \infty}\begin{vmatrix}u_n\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}a\end{vmatrix}$ 。并举例说明：如果数列 $\lbrace \begin{vmatrix}x_n \end{vmatrix}\rbrace$ 有极限，但数列 $\lbrace x_n \rbrace$ 未必有极限。
【证明】
$\because \lim_{n\rightarrow \infty}u_n=a$
$\therefore$ 对 $\forall \epsilon > 0$ , $\exist N>0$ ，当 $n > N$ 时， $\begin{vmatrix} u_n-a \end{vmatrix}<\epsilon$
$\because (\begin{vmatrix} \begin{vmatrix}u_n\end{vmatrix}-\begin{vmatrix} a\end{vmatrix} \end{vmatrix})^2-(\begin{vmatrix}u_n-a\end{vmatrix})^2 =u_n^2+a^2-2\begin{vmatrix}au_n\end{vmatrix}-u_n^2-a^2+2au_n=2au_n-2\begin{vmatrix}au_n\end{vmatrix}\leq 0$
$\therefore$ 当 $n > N$ 时， $\begin{vmatrix}\begin{vmatrix}u_n\end{vmatrix}-\begin{vmatrix}a\end{vmatrix}\end{vmatrix}\leq \begin{vmatrix}u_n-a\end{vmatrix}<\epsilon$
$\therefore \lim_{n\rightarrow \infty}\begin{vmatrix}u_n\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}a\end{vmatrix}$
【举例】
如：数列 $\lbrace\begin{vmatrix}x_n\end{vmatrix}\rbrace=\lbrace \begin{vmatrix} (-1)^n \end{vmatrix}\rbrace$ 有极限为1；但数列 $\lbrace x_n\rbrace=\lbrace (-1)^n \rbrace$ 没有极限。

2.5

【题目】
设数列 $\lbrace x_n \rbrace$ 有界，又 $\lim_{n\rightarrow \infty}y_n=0$ 。证明： $\lim_{n\rightarrow \infty}x_ny_n=0$ 。
【证明】
$\because \lbrace x_n \rbrace$ 有界
$\therefore \exist M>0$ ，使 $\begin{vmatrix}x_n\end{vmatrix}\leq M$ 对一切 $n$ 都成立
$\because \lim_{n\rightarrow \infty}y_n=0$
$\therefore$ 对 $\forall \epsilon >0$ , $\exist N>0$ ，当 $n > N$ 时， $\begin{vmatrix}y_n-0 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}y_n\end{vmatrix}<\epsilon$
$\therefore$ 在同样条件下， $\begin{vmatrix}x_ny_n-0\end{vmatrix}\leq M\cdot\epsilon$
$\therefore \lim_{n\rightarrow \infty}x_ny_n=0$

2.6

【题目】
对于数列 $\lbrace x_n \rbrace$ ，若 $x_{2k-1}\rightarrow a(k\rightarrow \infty)$ ， $x_{2k}\rightarrow a(k\rightarrow \infty)$ ，证明： $x_n\rightarrow a(n\rightarrow \infty)$ 。
【证明】
$\because \lim_{k\rightarrow \infty}x_{2k-1}=a$
$\therefore$ 对 $\forall \epsilon >0$ ， $\exist N_1>0$ ，当 $2k-1>N_1$ 时， $\begin{vmatrix}x_{2k-1}-a\end{vmatrix}<\epsilon$
$\because \lim_{k\rightarrow \infty}x_{2k}=a$
$\therefore$ 对上述 $\epsilon$ ， $\exist N_2>0$ ，当 $2k>N_2$ 时， $\begin{vmatrix}x_{2k}-a\end{vmatrix}<\epsilon$
$\therefore$ 对上述 $\epsilon$ ，当 $n>\lbrace N_1, N_2\rbrace$ 时， $\begin{vmatrix}x_n-a\end{vmatrix}<\epsilon$
$\therefore x_n\rightarrow a(n\rightarrow \infty)$ 。

【学习资料】

《高等数学（第六版）》上册，同济大学数学系编