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第二章 学习笔记

第二章的题目是 Free Fall on the Rotating Earth。这章的内容就是第一章结论的一个直接应用。这一章假设地心是做匀速直线运动的，也就是地心坐标系是惯性系 L。在地表处建立一个 M 坐标系。

首先先指出书上一个错误，书上公式 2.1 写的是：
$$m\ddot{{\mathbf{r}}^{\prime }}{|}_M=\mathbf{F}-m\ddot{\mathbf{R}}{|}_L-m\dot{\omega }\times {\mathbf{r}}^{\prime }{|}_M-2m\omega \times \dot{{\mathbf{r}}^{\prime }}{|}_M-m\omega \times (\omega \times {\mathbf{r}}^{\prime })$$
只有速度和加速度矢量需要标注坐标系，所以里面$\dot{\omega }\times {\mathbf{r}}^{\prime }{|}_M$ 应该是 $\dot{\omega }{|}_M\times {\mathbf{r}}^{\prime }$。因此公式2.1 应该修正为：
$$m\ddot{{\mathbf{r}}^{\prime }}{|}_M=\mathbf{F}-m\ddot{\mathbf{R}}{|}_L-m\dot{\omega }{|}_M\times {\mathbf{r}}^{\prime }-2m\omega \times \dot{{\mathbf{r}}^{\prime }}{|}_M-m\omega \times (\omega \times {\mathbf{r}}^{\prime })$$
由于地球的自转可以认为是恒定不变的。所以 $\dot{\omega }=0$ 。
$$m\ddot{{\mathbf{r}}^{\prime }}{|}_M=\mathbf{F}-m\ddot{\mathbf{R}}{|}_L-2m\omega \times \dot{{\mathbf{r}}^{\prime }}{|}_M-m\omega \times (\omega \times {\mathbf{r}}^{\prime })$$
$\mathbf{R}$ 是地心指向地面坐标系的矢量，这个矢量从地面坐标系来看是个常数。也就是$\ddot{\mathbf{R}}{|}_M=\dot{\mathbf{R}}{|}_M=0$。所以有下面的等式：
$$\begin{gathered} \ddot{\mathbf{R}}{|}_L=\ddot{\mathbf{R}}{|}_M+\dot{\omega }{|}_M\times \mathbf{R}+2\omega \times \dot{\mathbf{R}}{|}_M+\omega \times (\omega \times \mathbf{R}) \\ =\omega \times (\omega \times \mathbf{R}) \end{gathered}$$
所以：
$$m\ddot{{\mathbf{r}}^{\prime }}{|}_M=\mathbf{F}-m\omega \times (\omega \times \mathbf{R})-2m\omega \times \dot{{\mathbf{r}}^{\prime }}{|}_M-m\omega \times (\omega \times {\mathbf{r}}^{\prime })$$
对于放置于M 系原点静止的物体，受到两个外力，分别是万有引力和地面对它的支撑力。同时，${\mathbf{r}}^{\prime }=0,\dot{{\mathbf{r}}^{\prime }}=0$。设支撑力为 ${\mathbf{F}}_h$，那么有：
$$\begin{gathered} 0={\mathbf{F}}_h-\frac{GMm\mathbf{R}}{R^3}-m\omega \times (\omega \times \mathbf{R}) \\ {\mathbf{F}}_h=\frac{GMm\mathbf{R}}{R^3}+m\omega \times (\omega \times \mathbf{R}) \end{gathered}$$
支撑力和重力是相反的。所以重力 $m\mathbf{g}$ 可以表示为:
$$\mathbf{g}=-\frac{GM\mathbf{R}}{R^3}+\omega \times (\omega \times \mathbf{R})$$
对于自由落体，有：
$$m\ddot{{\mathbf{r}}^{\prime }}{|}_M=m\mathbf{g}-2m\omega \times \dot{{\mathbf{r}}^{\prime }}{|}_M-m\omega \times (\omega \times {\mathbf{r}}^{\prime })$$
$\omega =\frac{2\pi }{24\ast 3600}$ 是个很小的数字，$m\omega \times (\omega \times {\mathbf{r}}^{\prime })$ 与 $m\mathbf{g}$ 相比可以忽略。所以可以进一步简化为：
$$m\ddot{{\mathbf{r}}^{\prime }}{|}_M=m\mathbf{g}-2m\omega \times \dot{{\mathbf{r}}^{\prime }}{|}_M$$
再往后就是如何把这个矢量方程化为三个标量方程，然后再求解方程的过程。后面其实就都是数学问题了。这里就不详细的写了。