目录
一、什么是傅里叶变换
1.1 基本概念
（1）首先，先看时域图像：
（2）接下来，频域波形
（3）傅里叶变换
1.2 应用
（1）离散傅里叶变换在图像处理领域的应用：
二、代码编写：傅里叶变换与逆傅里叶变换
2.1 、OpenCV实现傅里叶变换
2.2 OpenCV实现逆傅里叶变换
2.3 Numpy实现傅里叶变换
2.4、Numpy实现逆傅里叶变换
三、应用实践：低通滤波与高通滤波
3.1 低通滤波：滤除高频分量 ——模糊图像（使用OpenCV）
3.2 高通滤波 ——滤除低频分量 - 锐化图像（使用OpenCV）
一、什么是傅里叶变换
1.1 基本概念
傅里叶原理表明：任何连续测量的时序或信号（时域信号），都可以表示为不同频率的正弦波信号的无限叠加（积分）。也就是说，傅里叶变换是一种特殊的积分变换，它能将满足一定条件的某个函数（时域信号）表示成正弦基函数的线性组合或者积分。
不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。
（看一张动态图，原作者： 傅里叶分析之掐死教程（完整版）更新于2014.06.06 - 知乎） （动态图的开始部分很清晰的展现了：红色曲线可以由众多条（或者无数条）蓝色的正弦函数以及余弦函数叠加而成）
（再看一张老面孔） 在数字图像领域，我们一般使用的都是二维的灰度图像，所以这里从二维的傅里叶变换说起。
（1）首先，先看时域图像：
他是我们经常见到与接触的一种函数（方波信号），称它为 f(t)：
从大图中可以看到，这条线是由所有的正弦波叠加而成的总和，反过来说就是，所有的正弦波都是这条总和波的分量。其中，频率最低的排在最前面，越往后，频率越高（即上下跳动越活越），并且，每一条波的振幅都不同（因为波形的高度不同）。同时，我们也发现在所有的正弦波中，有很多分量是直线，那是因为时域图像中的 f(t) 并不需要某种特定频率的正弦波，所以表现为直线。
（2）接下来，频域波形
我们从正弦波的侧面看过去，便是 f(t) 在频域的样子（终于到这一步了）
在频域上，自变量为正弦波分量的频率，因变量为振幅，他们两形成的函数 F(w),也就是频域图像。这时，一个时域——频域的映射就完成了。
（3）傅里叶变换
让我们在回顾一下文章开头的动图的最后一张：
由 时域上的红色图像 映射到了 频域上的蓝色图像，这便是傅里叶变换所做的事。
1.2 应用
（1）离散傅里叶变换在图像处理领域的应用：
对于数字图像这种离散的信号，频率大小表示信号变化的剧烈程度或者说是信号变化的快慢。
频率越大，变化越剧烈，频率越小，信号越平缓。
对应到图像中，高频信号往往是图像中的边缘信号和噪声信号，而低频信号包含图像变化缓慢的图像轮廓及背景等信号。
因此，我们可以做相应的锐化和模糊的处理：提出其中的高频分量做傅里叶逆变换得到的就是锐化的结果（高通滤波器）。 提出其中的低频分量做傅里叶逆变换得到的就是模糊的结果（低通滤波器）。
另外，需要特别注意的一点是：
截取频域图中的任何一个区域对应的都是原来的整张图的区域，而不是对应的局部区域。
二、代码编写：傅里叶变换与逆傅里叶变换
【Numpy与OpenCV均可实现傅里叶变换与逆傅里叶变换】
2.1 、OpenCV实现傅里叶变换
OpenCV API:
dst = cv2.dft (src , flags)
参数：
src：输入图像，需要转换格式为np.float32，可以为实数矩阵或者复数矩阵
flags：转换标志
（如DFT_COMPLEX_OUTPUT，对一维或二维实数数组正变换，输出一个同样尺寸的复数矩阵）
（DFT_REAL_OUTPUT，对一维或二维复数数组反变换，通常输出同样尺寸的复矩阵）
返回结果：是双通道的，第一个的结果是虚数部分，第二个通道的结果是实数部分
其他函数：
np.fft.fftshift(dst)：将图像的低频部分移动到图像的中心
返回值 = cv2.magnitude(参数1， 参数2)——将复数结果转换为幅值
参数1：浮点型X坐标值，也就是实部
参数2：浮点型Y坐标值，也就是虚部
【代码编写】
import cv2
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# 以灰度形式读入
img = cv2.imread('img\qiqiqi.png', 0)
# 使用cv2.dft()进行傅里叶变换
dst = cv2.dft(np.float32(img), flags=cv2.DFT_COMPLEX_OUTPUT)
# 将变换后图像的低频部分转移到图像的中心（低频信号在原点）
dst_center = np.fft.fftshift(dst)
# 使用cv2.magnitude将实部和虚部转换为实部，乘以20是为了使得结果更大
result = 20 * np.log(np.abs(cv2.magnitude(dst_center[:, :, 0], dst_center[:, :, 1])))
# 显示图像
plt.subplot(121)
plt.imshow(img, cmap="gray")
plt.axis("off")
plt.subplot(122)
plt.axis("off")
plt.imshow(result, cmap="gray")
plt.show()
2.2 OpenCV实现逆傅里叶变换
OpenCV API
dst= cv2.idft(src)
参数：
src：经过傅里叶变换后的图片
其他函数：
（同 【一、OpenCV实现傅里叶变换】）
【代码编写】
# %%opencv实现逆傅里叶变换
# 以灰度形式读入
img = cv2.imread('img\qiqiqi.png', 0)
# 使用cv2.dft()进行傅里叶变换
dst = cv2.dft(np.float32(img), flags=cv2.DFT_COMPLEX_OUTPUT)
# 将变换后图像的低频部分转移到图像的中心
dst_center = np.fft.fftshift(dst)
#
# 中间可以定义相应的掩膜去留高频或者低频部分
#
# 使用np.fft.ifftshift将低频移动到原来的位置
dst_origin = np.fft.ifftshift(dst_center)
# 使用cv2.idft进行傅里叶的逆变化
img_idft = cv2.idft(dst_origin)
# 使用cv2.magnitude转化为空间域内
img_idft = cv2.magnitude(img_idft[:, :, 0], img_idft[:, :, 1])
# 显示图像
plt.subplot(121)
plt.imshow(img, cmap="gray")
plt.axis("off")
plt.title('原图')
plt.subplot(122)
plt.axis("off")
plt.imshow(img_idft, cmap=plt.cm.gray)
plt.title('逆傅里叶变换')
plt.show()
2.3 Numpy实现傅里叶变换
Numpy
np.fft.fft2(img)
参数：
img：输入的灰度图像
其他函数：
（可参照 【一、OpenCV实现傅里叶变换】）
【代码编写】
# %%NumPy实现傅里叶变换
img = cv2.imread('img//qiqiqi.png', 0)
# 使用Numpy进行傅里叶变换
f = np.fft.fft2(img)
# 无处理（未把零频率分量移到中间）
mid_result = 20 * np.log(np.abs(f))
# 把零频率分量移到中间
fshift = np.fft.fftshift(f)
result = 20 * np.log(np.abs(fshift))
# 显示图像
plt.subplot(131)
plt.imshow(img, cmap="gray")
plt.axis("off")
plt.title('原图')
plt.subplot(132)
plt.axis("off")
plt.imshow(mid_result, cmap=plt.cm.gray)
plt.title('Numpy傅里叶变换\n(未把零频率分量移到中心)')
plt.subplot(133)
plt.axis("off")
plt.imshow(result, cmap=plt.cm.gray)
plt.title('Numpy傅里叶变换\n(把零频率分量移到中心)')
plt.tight_layout()
plt.show()
2.4、Numpy实现逆傅里叶变换
Numpy
np.fft.ifft2(img)
参数：
img：经过傅里叶变换后的图像
【代码编写】
# %%Numpy实现逆傅里叶变换
img = cv2.imread('img//qiqiqi.png', 0)
# 进行傅里叶变换
f = np.fft.fft2(img)
# 逆傅里叶变换
f_center = np.fft.ifftshift(f)
f_origin = np.fft.ifft2(f_center)
# 设置区间
f_origin = np.abs(f_origin)
# 显示图像
plt.subplot(121)
plt.imshow(img, cmap="gray")
plt.axis("off")
plt.title('原图')
plt.subplot(122)
plt.axis("off")
plt.imshow(f_origin, cmap=plt.cm.gray)
plt.title('Numpy逆傅里叶变换')
plt.show()
三、应用实践：低通滤波与高通滤波
3.1 低通滤波：滤除高频分量 ——模糊图像（使用OpenCV）
滤除突变的高频信号，留下渐变的低频信号。
【代码编写】
# %%OpenCV低通滤波
img = cv2.imread('img//qiqiqi.png', 0)
dft = cv2.dft(np.float32(img), flags=cv2.DFT_COMPLEX_OUTPUT)
dft_center = np.fft.fftshift(dft)
# 定义掩模：生成的掩模中间为1周围为0
crow, ccol = int(img.shape[0] / 2), int(img.shape[1] / 2) # 求得图像的中心点位置
mask = np.zeros((img.shape[0], img.shape[1], 2), np.uint8)
mask[crow - 30:crow + 30, ccol - 30:ccol + 30] = 1
# 将掩模与傅里叶变化后图像相乘，保留中间部分
mask_img = dft_center * mask
img_idf = np.fft.ifftshift(mask_img)
img_idf = cv2.idft(img_idf)
img_idf = cv2.magnitude(img_idf[:, :, 0], img_idf[:, :, 1])
plt.subplot(121)
plt.axis('off')
plt.imshow(img, cmap='gray')
plt.subplot(122)
plt.axis('off')
plt.imshow(img_idf, cmap='gray')
plt.show()
3.2 高通滤波 ——滤除低频分量 - 锐化图像（使用OpenCV）
去除低频的底噪和低频轮廓信号，留下突变的高频信号
【代码编写】
将低通滤波的定义的掩膜由 中间0周围1 改为 中间1周围0
复制
# 定义掩模：生成的掩模中间为0周围为1
crow, ccol = int(img.shape[0] / 2), int(img.shape[1] / 2) # 求得图像的中心点位置
mask = np.ones((img.shape[0], img.shape[1], 2), np.uint8)
mask[crow-30:crow+30, ccol-30:ccol+30] = 0
