算法基础课--学习--第一章

1基础算法

1.1 排序

模板题

• 快速排序
  采用“分治”的思想，对于一组数据，选择一个基准元素（base），通常选择中间的元素，通过第一轮扫描，比base小的元素都在base左边，比base大的元素都在base右边，再有同样的方法递归排序这两部分，直到序列中所有数据均有序为止。

#include <iostream>using namespace std;const int N = 100010;int n;
int q[N];void quick_sort(int q[], int l, int r)
{// 若[l, r]元素少于1个，则无需排序if(l >= r) return;// i区间左边界-1， j区间右边界+1， x为基准值int i = l - 1, j = r + 1, x = q[(l + r) >> 1];// 若i 《 j则继续排序while(i < j){do i ++ ; while(q[i] < x); // 找到一个比x大的值 --停止do j -- ; while(q[j] > x); // 找到一个比x大的值 --停止if(i < j) swap(q[i], q[j]); // 交换两者}// 递归子区间[l, j], [j + 1, r]quick_sort(q, l, j);quick_sort(q, j + 1, r);
}int main()
{cin >> n;for(int i = 1; i <= n; i ++) cin >> q[i];// 快排quick_sort(q, 1, n);for(int i = 1; i <= n; i ++) cout << q[i] << " ";return 0;
}

• 归并排序
• 归并排序算法排序过程，一个是分，原数组划分成两个子数组的过程。另一个是治，它将两个有序数组合并成一个更大的有序数组。
  

#include<iostream>using namespace std;const int N = 1e5 + 10;int n;
int q[N];void merge_sort(int q[], int l, int r)
{if(l >= r) return ;// 分int mid = (l + r) >> 1;merge_sort(q, l, mid), merge_sort(q, mid + 1, r);// 归并子集// i 表示第一个区间的左端点，j表示第二个区间的左端点int i = l, j = mid + 1, k = 0, tmp[r - l + 1];while(i <= mid && j <= r){if(q[i] <= q[j]) tmp[k ++] = q[i ++];else tmp[k ++ ] = q[j ++ ];}while(i <= mid) tmp[k ++] = q[i ++];while(j <= r) tmp[k ++ ] = q[j ++ ];// 将tmp拷贝到q中for(int i = l, k = 0; i <= r; i ++, k ++) q[i] = tmp[k];
}int main()
{scanf("%d", &n);for(int i = 0; i < n; i ++ ) scanf("%d", &q[i]);// 归并排序merge_sort(q, 0, n - 1);for(int i = 0; i < n; i ++ ) printf("%d ", q[i]);cout << endl;return 0;
}

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第k个数：快排选择
788. 逆序对的数量

1.2 二分

模板题

• 整数二分
  

#include <iostream>using namespace std;const int N = 100010;int n, q;
int a[N];// 二分模板1求红色右端点
int binary_search1(int a[], int k)
{int l = 0, r = n - 1;while(l < r){int mid = l+r + 1 >> 1;if(a[mid] <= k) l = mid;else r = mid - 1;}return l;}// 二分模板2求绿色左端点
int binary_search2(int a[], int k)
{int l = 0, r = n - 1;while(l < r){int mid = l + r >> 1;if(a[mid] >= k ) r = mid;else l = mid + 1;}return l;
}int main()
{cin >> n >> q;for(int i = 0; i < n; i ++) cin >> a[i];while(q -- ){int k;cin >> k;int ans = binary_search2(a, k);if(k != a[ans]) printf("-1 -1\n");else {printf("%d ", ans);ans = binary_search1(a, k);printf("%d\n", ans);}}return 0;
}

• 浮点数
  这里主要是判定条件是根据精度来决定的。

#include <iostream>
#include <cmath>using namespace std;const double error = 1e-8;double binary_search(double n)
{double l = -10000, r = 10000;while(fabs(r - l) >= error){double mid = (l + r) / 2;if(mid * mid * mid <= n) l = mid;else r = mid;}return l;
}int main()
{double n;cin >> n;double res = binary_search(n);printf("%.6lf", res);return 0;
}

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1.3 高精度

模板题

• 加法

#include <iostream>
#include <vector>using namespace std;// 加法模板 数字的数组表示 + 数字的数组表示
vector<int> add(vector<int> A, vector<int> B)
{vector<int> res;int t = 0; // 表示进位的数字for(int i = 0; i < A.size() || i < B.size(); i ++){if(i < A.size()) t += A[i];if(i < B.size()) t += B[i];res.push_back(t % 10);t /= 10;}if(t > 0) res.push_back(t);return res;
}int main()
{string a, b;cin >> a >> b;vector<int> A, B;for(int i = a.size() - 1; i >= 0 ; i --) A.push_back(a[i] - '0');for(int i = b.size() - 1; i >= 0 ; i --) B.push_back(b[i] - '0');vector<int> res = add(A, B);for(int i = res.size() - 1; i >= 0; i -- ) cout << res[i];return 0;
}

• 减法

#include <iostream>
#include <vector>using namespace std;// 比较两个大整数的大小
// 若true 则 A > B 否则 A <= B
bool cmp(vector<int> A, vector<int> B)
{if(A.size() != B.size()) return A.size() > B.size();for(int i = A.size() - 1; i >= 0; i -- )if(A[i] != B[i]) return A[i] > B[i];return true;
}// 减法模板 数字的数组表示 + 数字的数组表示
vector<int> sub(vector<int> A, vector<int> B)
{vector<int> res;int t = 0; // 表示进位的数字for(int i = 0; i < A.size() || t; i ++){t = A[i] - t;if(i < B.size()) t -= B[i];res.push_back((t + 10) % 10);if (t < 0) t = 1;else t = 0;}while(res.size() > 1 && res.back() == 0) res.pop_back();return res;
}int main()
{string a, b;cin >> a >> b;vector<int> A, B;for(int i = a.size() - 1; i >= 0 ; i --) A.push_back(a[i] - '0');for(int i = b.size() - 1; i >= 0 ; i --) B.push_back(b[i] - '0');vector<int> res;if(cmp(A, B)) res = sub(A, B);else {cout << "-";res = sub(B, A);}for(int i = res.size() - 1; i >= 0; i -- ) cout << res[i];return 0;
}

• 乘法

#include <iostream>
#include <vector>using namespace std;
// 大数的数字表示乘以小数字
vector<int> mul(vector<int> A, int b)
{vector<int> res;// 模拟乘法int t = 0;for(int  i = 0; i < A.size() || t; i ++){if(i < A.size()) t += A[i] * b;res.push_back(t % 10);t /= 10;}// 去除前导0while(res.size() > 1 && res.back() == 0) res.pop_back();return res;
}// 借鉴链接 :
// 大数的数组表示乘以大数的数组表示
vector<int> mul(vector<int> &A, vector<int> &B) {vector<int> C(A.size() + B.size() + 7, 0); // 初始化为 0，C的size可以大一点for (int i = 0; i < A.size(); i++)for (int j = 0; j < B.size(); j++)C[i + j] += A[i] * B[j];int t = 0;for (int i = 0; i < C.size(); i++) { // i = C.size() - 1时 t 一定小于 10t += C[i];C[i] = t % 10;t /= 10;}while (C.size() > 1 && C.back() == 0) C.pop_back(); // 必须要去前导 0，因为最高位很可能是 0return C;
}int main()
{string a;int b;cin >> a >> b;vector<int> A;for(int i = a.size() - 1; i >= 0 ; i --) A.push_back(a[i] - '0');vector<int> res = mul(A, b);for(int i = res.size() - 1; i >= 0; i -- ) cout << res[i];return 0;}

• 除法

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <vector>using namespace std;// 除法模板 数字的数组表示 / 小数字 r为余数
vector<int> div(vector<int> A, int b, int& r)
{vector<int> res;r = 0;for(int i = A.size() - 1; i >= 0; i --){r = r * 10 + A[i];res.push_back(r / b);r %= b;}reverse(res.begin(), res.end());while(res.size() > 1 && res.back() == 0) res.pop_back();return res;
}int main()
{string a;int b;cin >> a >> b;int r = 0;vector<int> A;for(int i = a.size() - 1; i >= 0 ; i --) A.push_back(a[i] - '0');vector<int> res = div(A, b, r);for(int i = res.size() - 1; i >= 0; i -- ) cout << res[i];cout << endl << r << endl;return 0;
}

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1.4 前缀和

• 一维

#include <iostream>using namespace std;const int N = 1e5 + 10;int n, m;
int a[N], s[N];int main()
{cin >> n >> m;for(int i = 1; i <= n; i ++ ) cin >> a[i];// 初始化前缀和for(int i = 1; i <= n; i ++) s[i] = s[i - 1] + a[i];while(m --){int l, r;cin >> l >> r;cout << s[r] - s[l - 1] << endl;}return 0;
}

• 二维

#include <iostream>using namespace std;const int N = 1010;int n, m, q;
int a[N][N], s[N][N];int main()
{cin >> n >> m >> q;for(int i = 1; i <= n; i ++)for(int j = 1; j <= m; j ++ ){cin >> a[i][j];s[i][j] = s[i][j - 1] + s[i - 1][j] - s[i - 1][j - 1] + a[i][j];}      while(q -- ){int x1, y1, x2, y2;cin >> x1 >> y1 >> x2 >> y2;int res = s[x2][y2] - s[x2][y1 - 1] - s[x1 - 1][y2] + s[x1 - 1][y1 - 1];cout << res << endl;}return 0;
}

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1.5 差分

模板题

• 一维

#include<iostream>using namespace std;const int N = 1e5 + 10;int n, m;
int a[N], b[N];void insert(int l, int r, int c)
{b[l] += c;b[r + 1] -= c;
}int main()
{cin >> n >> m;for(int i = 1; i <= n; i ++ ){cin >> a[i];b[i] = a[i] - a[i - 1];}while(m -- ){int l, r, c;cin >> l >> r >> c;insert(l , r, c);}for(int i = 1; i <= n; i ++ ) a[i] = a[i - 1] + b[i];for(int i = 1; i <= n; i ++ ) printf("%d ", a[i]);return 0;
}

• 二维

#include <iostream>using namespace std;const int N = 1010;int n, m, q;
int a[N][N], b[N][N];// 处理差分数组
void insert(int x1, int y1, int x2, int y2, int c)
{b[x1][y1] += c;b[x2 + 1][y1] -= c;b[x1][y2 + 1] -= c;b[x2 + 1][y2 + 1] +=c ;
}void print()
{for(int i = 1; i <= n; i ++ ){for(int j = 1; j <= m; j ++ ){printf("%d ", a[i][j]);}printf("\n");} 
}int main()
{cin >> n >> m >> q;for(int i = 1; i <= n; i ++ )for(int j = 1; j <= m; j ++ ){cin >> a[i][j];insert(i, j, i, j, a[i][j]);}while(q -- ){int x1, y1, x2, y2, c;cin >> x1 >> y1 >> x2 >> y2 >> c;insert(x1, y1, x2, y2, c);}for(int i = 1; i <= n; i ++ )for(int j = 1; j <= m; j ++ ){a[i][j] = b[i][j] + a[i - 1][j] + a[i][j - 1] - a[i - 1][j - 1];}print();return 0;
}

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1.6 双指针

模板题

• 799. 最长连续不重复子序列

#include<iostream>using namespace std;const int N = 1e5 + 10;int n;
int a[N], s[N];int main()
{cin >> n;for(int i = 0; i < n; i ++) cin >> a[i];int res = 0;    for(int i = 0, j = 0; i < n; i ++){++ s[a[i]];while(s[a[i]] > 1) --s[a[j ++]];res = max(res, i - j + 1);}cout << res;return 0;
}

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800. 数组元素的目标和
27.移除元素
283.移动零
11.盛最多水的容器
42.接雨水

1.7 位运算

模板题

• 801. 二进制中1的个数
  lowbit原理
  根据计算机负数表示的特点，如一个数字原码是10001000，他的负数表示形势是补码，就是反码+1，反码是01110111，加一则是01111000，二者按位与得到了1000，就是我们想要的lowbit操作

#include <iostream>using namespace std;// 找到最后一位1的所有位数
// 如10010 则返回10
int lowbit(int x)
{return x & -x;
}int count1(int x)
{int cnt = 0;while(x) {cnt ++ ;x -= lowbit(x);}return cnt;
}int main()
{int n;cin >> n;while(n -- ){int x;cin >> x;int res = count1(x);cout << res << " ";}return 0;
}

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1486. 数组异或操作
2595. 奇偶位数
231. 2 的幂
342. 4 的幂
476. 数字的补数
2980. 检查按位或是否存在尾随零 性质:AND 的数越多，结果越小。OR 的数越多，结果越大。
1720. 解码异或后的数组

1.8 离散化

模板题

• 802. 区间和
• 代码

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <vector>using namespace std;const int N =  3e5 + 10;typedef pair<int, int> PII;int n, m;
int a[N], s[N];vector<int> alls;
vector<PII> add, query;int find(int x)
{int l = 0, r = alls.size() - 1;while(l < r){int mid = l + r >> 1;if(alls[mid] >= x) r = mid;else l = mid + 1;}return r + 1;
}int main()
{cin >> n >> m;for(int i = 0; i < n; i ++){int x, c;cin >> x >> c;add.push_back({x, c});alls.push_back(x);}for(int i = 0; i < m; i ++){int l, r;cin >> l >> r;query.push_back({l , r});alls.push_back(l);alls.push_back(r);}// 去重sort(alls.begin(), alls.end());alls.erase(unique(alls.begin(), alls.end()), alls.end());// 处理插入for (auto item: add){int x = find(item.first);a[x] += item.second;}// 预处理前缀和for(int i = 1; i <= alls.size(); i ++) s[i]= s[i - 1] + a[i];// 处理询问for (auto item: query){int l = find(item.first), r = find(item.second);cout << s[r] - s[l - 1] << endl;}return 0;
}

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1.9区间合并

模板题目

• 803. 区间合并

• 分析

• 代码

#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>using namespace std;typedef pair<int, int> PII;
const int N = 1e5 + 10;int n;vector<PII> merge_segment(vector<PII> segs)
{vector<PII> res;sort(segs.begin(), segs.end());// 维护判断区间int st = -2e9, ed = -2e9;for(int i = 0; i < segs.size(); i ++){int x = segs[i].first, y = segs[i].second;if(x > ed) {if(ed != -2e9) res.push_back({st, ed}); // 当前区间不是初始化区间st = x, ed = y; // 当前区间和待合并区间不重合，}else if(y > ed) ed = y; // 当前区间和待合并区间重合,且待合并区间右端点更大}res.push_back({st, ed});return res;
}int main()
{vector<PII> segs; // 区间存取scanf("%d", &n);for(int i = 0; i < n; i ++) {int x, y;scanf("%d%d", &x, &y);segs.push_back({x, y});}segs = merge_segment(segs);cout << segs.size() << endl;return 0;
}

题单

• 56.区间合并