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注：本文为来自 “模糊数学 | 模型及其应用” 相关文章合辑。

略作重排。

如有内容异常，请看原文。

模糊数学模型：隶属函数、模糊集合的表示方法、模糊关系、模糊矩阵

wamg 潇潇于 2019-05-06 22:35:21 发布

1.1 模糊数学简介

1965 年，美国著名计算机与控制专家查德 (L.A.Zadeh) 教授提出了模糊的概念，并在国际期刊《Information and Control》上发表了第一篇用数学方法研究模糊现象的论文 “Fuzzy Sets”（模糊集合），开创了模糊数学的新领域。模糊是指客观事物差异的中间过渡中的 “不分明性” 或 “亦此亦彼性”。例如，高个子与矮个子、年轻人与老年人、热水与凉水、环境污染严重与不严重等。在决策中，也有这种模糊的现象，例如选举一个好干部，但怎样才算一个好干部？好干部与不好干部之间没有绝对分明和固定不变的界限。这些现象很难用经典的数学来描述。模糊数学就是用数学方法研究与处理模糊现象的数学。它作为一门崭新的学科，是在经典数学、统计数学之后发展起来的一个新的数学学科。经过短暂的沉默和争议之后，它迅猛地发展起来，而且应用越来越广泛。如今，模糊数学的应用已经遍及理、工、农、医及社会科学的各个领域，充分体现了它强大的生命力和渗透力。

统计数学是将数学的应用范围从确定性的领域扩大到了不确定性的领域，即从必然现象到偶然现象；而模糊数学则是把数学的应用范围从确定领域扩大到了模糊领域，即从精确现象到模糊现象。实际中，我们处理现实的数学模型可以分成三大类：第一类是确定性数学模型，即模型的背景具有确定性，对象之间具有必然的关系；第二类是随机性的数学模型，即模型的背景具有随机性和偶然性；第三类是模糊性模型，即模型的背景及关系具有模糊性。

1.2 基本概念

1.2.1 模糊集和隶属函数

定义 1 论域 $X$ 到 ([0,1]) 闭区间上的任意映射

1.2.2 模糊集合的表示方法

当论域 $X$ 为有限集时，记 $\{ x_1, x_2, \dots, x_n \}$ ，则 $X$ 上的模糊集 $A$ 有下列三种常见的表示形式。

i) Zadeh 表示法

ii) 序偶表示法

iii) 向量表示法

当论域 $X$ 为无限集时， $X$ 上的模糊集 $A$ 可以写成

1.2.3 模糊集的运算

1.2.4 隶属函数的确定方法

模糊数学的基本思想是隶属度的思想。应用模糊数学方法建立数学模型的关键是建立符合实际的隶属函数。如何确定一个模糊集的隶属函数至今仍是尚未解决的问题。这里仅介绍几种常用的确定隶属函数的方法。

（1）模糊统计方法

模糊统计方法是一种客观方法，主要是基于模糊统计试验的基础上根据隶属度的客观存在性来确定的。所谓的模糊统计试验包含以下四个要素：

（2）指派方法

指派方法是一种主观的方法，它主要依据人们的实践经验来确定某些模糊集隶属函数的一种方法。

如果模糊集定义在实数域 $\mathbb{R}$ 上，则模糊集的隶属函数称为模糊分布。所谓指派方法就是根据问题的性质主观地选用某些形式的模糊分布，再根据实际测量数据确定其中所包含的参数。常用的模糊分布如表 1 所示。实际中，根据问题对研究对象的描述来选择适当的模糊分布：

偏小型模糊分布一般适合于描述像 “小、少、浅、淡、冷、疏、青年” 等偏小的程度的模糊现象。
偏大型模糊分布一般适合于描述像 “大、多、深、浓、热、密、老年” 等偏大的程度的模糊现象。
中间型模糊分布一般适合于描述像 “中、适中、不太多、不太少、不太深、不太浓、暖和、中年” 等处于中间状态的模糊现象。

但是，表 1 给出的隶属函数都是近似的，应用时需要对实际问题进行分析，逐步修改进行完善，最后得到近似程度更好的隶属函数。

（3）其他方法

在实际应用中，用来确定模糊集的隶属函数的方法是多种多样的，主要根据问题的实际意义来确定。例如，在经济管理、社会管理中，可以借助于已有的 “客观尺度” 作为模糊集的隶属度。下面举例说明。

如果设论域 $X$ 表示机器设备，在 $X$ 上定义模糊集 $A =$ “设备完好”，则可以用 “设备完好率” 作为 $A$ 的隶属度。如果 $X$ 表示产品，在 $X$ 上定义模糊集 $A =$ “质量稳定”，则可以用产品的 “正品率” 作为 $A$ 的隶属度。如果 $X$ 表示家庭，在 $X$ 上定义模糊集 $A =$ “家庭贫困”，则可以用 “Engel 系数 = 食品消费 / 总消费” 作为 $A$ 的隶属度。

另外，对于有些模糊集而言，直接给出隶属度有时是很困难的，但可以利用所谓的 “二元对比排序法” 来确定，即首先通过两两比较确定两个元素相应隶属度的大小排出顺序，然后用数学方法加工处理得到所需的隶属函数。

1.3 模糊关系、模糊矩阵

1.3.1 基本概念

这是二元模糊关系的数学定义，多元模糊关系也可以类似定义。

由此确定一个从 $U$ 到 $V$ 的模糊关系 $R$ ，这个模糊关系的隶属度函数是一个 $\times 4$ 阶的矩阵，记为

则 $R$ 为一个模糊关系矩阵。

1.3.2 模糊矩阵的运算及其性质

(1) 模糊矩阵间的关系及并、交、余运算

(2) 模糊矩阵的合成

两模糊矩阵合成的 MATLAB 函数如下：

function ab = synt(a, b)m = size(a, 1);n = size(b, 2);for i = 1:mfor j = 1:nab(i, j) = max(min([a(i, :); b(:, j)']));endend

(3) 模糊矩阵的转置

(4) 模糊矩阵的 $\lambda$ -截矩阵

模糊模式识别

wamg 潇潇于 2019-05-06 23:27:32 发布

本节我们假定论域为 $U$ ， $U$ 上的模糊集的全体记为 $F (U)$ 。

1 模糊集的贴近度

贴近度是对两个模糊集接近程度的一种度量。

定义 10 设 $\in F(U)$ ，若映射

$\times F(U) \to [0,1]$

满足条件：

$N (A, B) = N (B, A)$ ；
$N (A, A) = 1$ ， $\emptyset) = 0$ ，这里 $\emptyset$ 为空集；
若 $\subseteq B \subseteq C$ ，则 $\leq N(A, B) \land N(B, C)$ ；

则称 $N (A, B)$ 为模糊集 $A$ 与 $B$ 的贴近度。 $N$ 称为 $F (U)$ 上的 贴近度函数。

1. 海明贴近度

当 $U$ 为实数域上的闭区间 ([a, b]) 时，则有

2. 欧几里得贴近度

3. 黎曼贴近度

若 $U$ 为实数域，被积函数为黎曼可积，且广义积分收敛，则

计算的 MATLAB 程序：

i）编写定义函数 $\land B(x)$ 的 MATLAB 函数

function f1 = jixiao(x)f1 = (x >= 20 & x < 50) .* (x - 20) / 40 + (x >= 50 & x < 80) .* (80 - x) / 40;

ii）编写定义函数 $\lor B(x)$ 的 MATLAB 函数

function f2 = jida(x)f2 = (x >= 0 & x < 40) + (x >= 40 & x < 50) .* (80 - x) / 40 + (x >= 50 & x < 60) .* (x - 20) / 40 + (x >= 60 & x <= 100);

iii）利用 MATLAB 的积分命令 quadl 计算 $N_1(A, B)$

N1 = quadl(@jixiao, 0, 100) / quadl(@jida, 0, 100);

例 9 设 $\mathbb{R}$ （实数域），正态型隶属函数

2 格贴近度

为模糊集 $A$ 、 $B$ 的内积。

内积的对偶运算为外积。

为模糊集 $A$ 、 $B$ 的外积。

由性质发现，给定模糊集 $A$ ，让模糊集 $B$ 靠近 $A$ ，会使内积 $\odot B$ 增大而外积 $\otimes B$ 减少。换句话说，当 $\odot B$ 较大且 $\otimes B$ 较少时， $A$ 与 $B$ 比较贴近。因此，采用内积与外积相结合的 “格贴近度” 来刻画两个模糊集的贴近程度。

解法 II（黎曼贴近度法）

求解式中各积分非常麻烦，这里就不解下去了。不过已经发现，求解此题，以选择格贴近度法最好。

3 模糊模式识别原则

模糊模式识别大致有两种方法，一是直接方法，按 “最大隶属原则” 归类，主要应用于个体的识别；另一是间接方法，按 “择近原则” 归类，一般应用于群体模型的识别。

2.3.1 最大隶属原则

2.3.2 择近原则

计算的 MATLAB 程序如下：

a = [0.5 0.4 0.3 0.6 0.5 0.4;0.3 0.2 0.2 0.1 0.2 0.2;0.2 0.2 0.2 0.1 0.1 0.2;0 0.1 0.2 0.1 0.1 0.1;0 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1];
b = [0.4 0.2 0.1 0.4 0.5 0.6];
for i = 1:5x = [a(i, :); b];t(i) = min([max(min(x)) 1 - min(max(x))]);
end
t

模糊聚类分析方法

wamg 潇潇于 2019-05-07 08:33:20 发布

在工程技术和经济管理中，常常需要对某些指标按照一定的标准（相似的程度或亲疏关系等）进行分类处理。例如，根据生物的某些性态对其进行分类，根据空气的性质对空气质量进行分类，以及工业上对产品质量的分类、工程上对工程规模的分类、图像识别中对图形的分类、地质学中对土壤的分类、水资源中的水质分类等。这些对客观事物按一定的标准进行分类的数学方法称为聚类分析，它是多元统计 “物以聚类” 的一种分类方法。然而，在科学技术、经济管理中有许多事物的类与类之间并无清晰的划分，边界具有模糊性，它们之间的关系更多的是模糊关系。对于这类事物的分类，一般用模糊数学方法，我们把应用模糊数学方法进行的聚类分析，称为模糊聚类分析。

1 预备知识

1.1 模糊等价矩阵

n 阶等价布尔矩阵

模糊分类

1.2 模糊相似矩阵

2 模糊聚类分析法的基本步骤

Step 1: 数据标准化

(1) 获取数据

(2) 数据的标准化处理

在实际问题中，不同的数据可能有不同的性质和不同的量纲，为了使原始数据能够适合模糊聚类的要求，需要将原始数据矩阵 $A$ 作标准化处理，即通过适当的数据变换，将其转化为模糊矩阵。常用的方法有以下两种：

① 平移 — 标准差变换

② 平移 — 极差变换

Step 2: 建立模糊相似矩阵

(1) 数量积法

(2) 夹角余弦法

(3) 相关系数法

(4) 指数相似系数法

(5) 最大最小值法

式中 ∧ 为取小运算 min，∨ 代表取大运算 max

(6) 算术平均值法

(7) 几何平均值法

(8) 绝对值倒数法

(9) 绝对值指数法

(10) 海明距离法

(11) 欧氏距离法

(12) 切比雪夫距离法

(13) 主观评分法

Step 3: 聚类

所谓聚类方法就是依据模糊矩阵将所研究的对象进行分类的方法。对于不同的置信水平 $\lambda \in [0,1]$ ，可以得到不同的分类结果，从而形成动态聚类图。常用的方法如下：

(1) 传递闭包法

从 Step 2 中求出的模糊相似矩阵 $R$ 出发，构造一个模糊等价矩阵 $R^*$ 。其方法是用平方法求出 $R$ 的传递闭包 $t (R)$ ，则 $t(R) = R^*$ ；然后，由大到小取一组 $\lambda \in [0,1]$ ，确定相应的 $\lambda$ 截矩阵，则可以将其分类，同时也可以构成动态聚类图。

(2) 布尔矩阵法

(3) 直接聚类法

此方法是直接由模糊相似矩阵求出聚类图的方法，具体步骤如下：

3 模糊聚类分析应用案例

例 15 某地区内有 12 个气象观测站，10 年来各站测得的年降水量如表 3 所示。为了节省开支，想要适当减少气象观测站，试问减少哪些观察站可以使所得到的降水量信息仍然足够大？

解我们把 12 个气象观测站的观测值看成 12 个向量组，由于本题只给出了 10 年的观测数据，根据线性代数的理论可知，若向量组所含向量的个数大于向量的维数，则该向量组必然线性相关。于是只要求出该向量组的秩就可确定该向量组的最大无关组所含向量的个数，也就是需保留的气象观测站的个数。由于向量组中的其余向量都可由极大线性无关组线性表示，因此，可以使所得到的降水信息量足够大。

到目前为止，问题似乎已经完全解决了，可其实不然，因为如果上述观测站的数据不是 10 年，而是超过 12 年，则此时向量的维数大于向量组所含的向量个数，这样的向量组未必线性相关。故上述的解法不具有一般性，下面我们考虑一般的解法，首先，我们利用已有的 12 个气象观测站的数据进行模糊聚类分析，最后确定从哪几类中去掉几个观测站。

(1) 建立模糊集合

(2) 利用格贴近度建立模糊相似矩阵

(3) 求 $R$ 的传递闭包

其余观测站属于中间水平。

(4) 选择保留观测站的准则

显然，去掉的观测站越少，则保留的信息量越大。为此，我们考虑在去掉的观测站数目确定的条件下，使得信息量最大的准则。由于该地区的观测站分为 4 类，且第 4 类只含有一个观测站，因此，我们从前 3 类中各去掉一个观测站，我们的准则如下：

(5) 求解的 MATLAB 程序如下：

i）求模糊相似矩阵的 MATLAB 程序

a = [276.2 324.5 158.6 412.5 292.8 258.4 334.1 303.2 292.9 243.2 159.7 331.2;251.5 287.3 349.5 297.4 227.8 453.6 321.5 451.0 466.2 307.5 421.1 455.1;192.7 433.2 289.9 366.3 466.2 239.1 357.4 219.7 245.7 411.1 357.0 353.2;246.2 232.4 243.7 372.5 460.4 158.9 298.7 314.5 256.6 327.0 296.5 423.0;291.7 311.0 502.4 254.0 245.6 324.8 401.0 266.5 251.3 289.9 255.4 362.1;466.5 158.9 223.5 425.1 251.4 321.0 315.4 317.4 246.2 277.5 304.2 410.7;258.6 327.4 432.1 403.9 256.6 282.9 389.7 413.2 466.5 199.3 282.1 387.6;453.4 365.5 357.6 258.1 278.8 467.2 355.2 228.5 453.6 315.6 456.3 407.2;158.2 271.0 410.2 344.2 250.0 360.7 376.4 179.4 159.2 342.4 331.2 377.7;324.8 406.5 235.7 288.8 192.6 284.9 290.5 343.7 283.4 281.2 243.7 411.1];
mu = mean(a);
sigma = std(a);
for i = 1:12for j = 1:12r(i, j) = exp(-(mu(j) - mu(i))^2 / (sigma(i) + sigma(j))^2);end
end
r
save data1 r a

ii）矩阵合成的 MATLAB 函数

function rhat = hecheng(r)n = length(r);for i = 1:nfor j = 1:nrhat(i, j) = max(min([r(i, :); r(:, j)']));endend

iii）求模糊等价矩阵和聚类的程序

load data1
r1 = hecheng(r);
r2 = hecheng(r1);
r3 = hecheng(r2);
bh = zeros(12);
bh(find(r2 > 0.998)) = 1;

iv) 计算表 6 的程序编写计算误差平方和的函数如下：

function err = wucha(a, t)b = a;b(:, t) = [];mu1 = mean(a, 2);mu2 = mean(b, 2);err = sum((mu1 - mu2).^2);

计算 28 个方案的主程序如下：

load data1
ind1 = [1, 5];
ind2 = [2:3, 6, 8:11];
ind3 = [4, 7];
so = [];
for i = 1:length(ind1)for j = 1:length(ind3)for k = 1:length(ind2)t = [ind1(i), ind3(j), ind2(k)];err = wucha(a, t);so = [so; [t, err]];endend
end
so
tm = find(so(:, 4) == min(so(:, 4)));
shanchu = so(tm, 1:3);

模糊决策分析方法

wamg 潇潇于 2019-05-07 09:26:40 发布

模糊数学中有一个研究的热点问题就是 “模糊决策”，它就是研究在模糊环境下或者模糊系统中进行决策的数学理论和方法。模糊决策的目标是把决策论域中的对象在模糊环境下进行排序，或按某些模糊限制条件从决策域中选择出最优对象。

1 模糊综合评价法

模糊综合评价方法，是应用模糊关系合成的原理，从多个因素（指标）对被评价事物隶属等级状况进行综合性评判的一种方法，其具体的步骤为：

常用的模糊算子有：

经过比较研究， $M(\cdot, \oplus)$ 对各因素按权数大小，统筹兼顾，综合考虑，比较合理。

(6) 对模糊综合评价结果 $B$ 作分析处理。

★ 多目标模糊综合评价法建模实例

科技成果通常可用技术水平、技术难度、工作量、经济效益、社会效益等 5 个指标进行评价，等级分为一等、二等、三等、四等。某项科研成果经过评委会评定，得到单因素评判矩阵.

用 $M(\cdot, \oplus)$ 算子，得 $B = (0.23, 0.35, 0.31, 0.11)$ 。由计算结果可见，用 $M(\cdot, \oplus)$ 评价模型比较合理，成果应评为二等奖。

2 多目标模糊综合评价决策法

当被评价的对象有两个以上时，从多个对象中选择出一个最优的方法称为多目标模糊综合评价决策法。评价的步骤：

对每个对象按上面多个目标（因素）进行模糊综合评价；
将模糊评语量化，计算各对象的优先度。假设模糊评价评语量化集（或评价尺度）为 $S$ ，则各对象的优先度为：

★ 多目标模糊综合评价决策法建模实例

假定在上例中有两项科研成果，第一项科研成果为甲项，其模糊评价结果为 $B 1 = (0.23, 0.5, 0.31, 0.11)$ 。现对科研成果乙进行同样的模糊评价，其评价矩阵为

各评价因素的权值分配为 $A = (0.35, 0.35, 0.1, 0.1, 0.1)$ 。

所以，综合评价为

例 16 某露天煤矿有五个边坡设计方案，其各项参数根据分析计算结果得到边坡设计方案的参数如下表所示。

据勘探该矿探明储量 8800 吨，开采总投资不超过 8000 万元，试作出各方案的优劣排序，选出最佳方案。解首先确定隶属函数：

(1) 可采矿量的隶属函数

因为勘探的地质储量为 8800 吨，故可用资源的利用函数作为隶属函数

根据专家评价，诸项目在决策中占的权重为 $A = (0.25, 0.20, 0.20, 0.10, 0.25)$ ，于是得诸方案的综合评价为 $B = A R = (0.7435, 0.5919, 0.6789, 0.3600, 0.3905)$ 。

由此可知：方案 I 最佳，III 次之，IV 最差。程序计算如下：

(1) 首先编写函数文件 myfun.m 如下：

function f = myfun(x)f(1, :) = x(1, :) / 8800;f(2, :) = 1 - x(2, :) / 8000;f(3, :) = 0;f(3, find(x(3, :) <= 5.5)) = 1;flag = find(x(3, :) > 5.5 & x(3, :) <= 8);f(3, flag) = (8 - x(3, flag)) / 2.5;f(4, :) = 1 - x(4, :) / 200;f(5, :) = (x(5, :) - 50) / 1450;

(2) 编写程序文件如下：

x = [4700 6700 5900 8800 7600;5000 5500 5300 6800 6000;4.0 6.1 5.5 7.0 6.8;30 50 40 200 160;1500 700 1000 50 100];
r = myfun(x);
a = [0.25, 0.20, 0.20, 0.10, 0.25];
b = a * r;

3 多层次模糊综合评价模型的数学方法

3.1 多层次模糊综合评价模型数学方法的基本步骤

3.2 多目标模糊综合评价决策法建模实例

科技成果模糊综合评价模型的建立及其有关参数的确定。

(1) 科技成果综合评价的因素集（指标体系）的确定根据科研成果的特点，并经过专家调研，设计以下一套综合评价指标体系.

(2) 科技成果的评语集的确定

在评价科技成果时，可以将其分为一定的等级。在此，从 “专家打分” 的角度把评价的等级分为 “10 分”、“8 分”、“6 分”、“4 分”、“2 分” 五个等级，因此评语集表示为： $\{10 \text{分}, 8 \text{分}, 6 \text{分}, 4 \text{分}, 2 \text{分}\}$ 。

（4）权重 $a_k$ 的确定

在（1）给出的综合评价体系中三大准则及 9 个指标中，他们在综合评价中的重要程度是不一样的。地位重要的，应给予较大的权重；反之，应给出较小的权重。下文给出两种确定权重的实用方法。

① 频数统计法确定权重

② 模糊层次分析法（AHP）确定权重

该法的基本原理是从（1）中给出的综合评价体系的层次结构出发，针对每个准则内的指标，运用专家的知识、智慧、信息和价值观，对同一层或同一个域的指标进行两两比较对比，并按 1—9 判断标度及含义构造判断矩阵 $(d_{ij})_{n \times n}$ ，再由组织者计算比

(5) 科技成果的综合评价

4 模糊多属性决策方法

4.1 模糊多属性决策理论的描述

4.2 折衷型模糊多属性决策方法

(1) 折衷型模糊决策的基本原理折衷型模糊决策的基本原理是：

从原始的样本数据出发，先虚拟模糊正理想和模糊负理想，其中模糊正理想是由每一个指标中模糊指标值的极大值构成；模糊负理想是由每一个指标中模糊指标值的极小值构成。然后采用加权欧氏距离的测度工具来计算各备选对象与模糊正理想和模糊负理想之间的距离。在此基础上，再计算各备选对象属于模糊正理想的隶属度，其方案优选的原则是，隶属度越大，该方案越理想。

(2) 折衷型模糊决策的基本步骤

Step 1：指标数据的三角形模糊数表达

下面运用以上的定义将定性、定量指标以及权重数据统一量化为三角形模糊数.

对于定性指标，可以将 两极比例法 改进为 三角模糊数比例法。再利用三角模糊数比例法将定性指标转化为定量指标，其具体的转化形式见表 9。

对于精确的定量指标值，也写成三角模糊数的形式。设 $a$ 是一个具体的精确数，由三角模糊数的定义，则 $a$ 表示成三角模糊数的形式为：

数的表达形式.

Step 2: 模糊指标矩阵 $F$ 归一化处理

Step 3: 构造模糊决策矩阵

Step 4: 确定模糊正理想 $M^{+}$ 与模糊负理想 $M^{-}$

设

4.3 折衷型模糊决策方法建模实例

某市直属单位因工作需要，拟向社会公开招聘 8 名公务员，具体的招聘办法和程序如下：

(一) 公开考试：凡是年龄不超过 30 周岁，大学专科以上学历，身体健康者均可报名参加考试，考试科目有：综合基础知识、专业知识和 “行政职业能力测验” 三个部分，每科满分为 100 分。根据考试总分的高低排序选出 16 人选择进入第二阶段的面试考核。

(二) 面试考核：面试考核主要考核应聘人员的知识面、对问题的理解能力、应变能力、表达能力等综合素质。按照一定的标准，面试专家组对每个应聘人员的各个方面都给出一个等级评分，从高到低分成 A/B/C/D 四个等级，具体结果见表 10 所示。

现要求根据表 8 中的数据信息对 16 名应聘人员作出综合评价，选出 8 名作为录用的公务员。

建模过程：

① 借鉴表 9 的思想，对于定性指标值 A，B，C，D，可以定义表 10 的量化标准将这些定性指标进行量化，其具体的量化形式见表 11。

② 由表 11 和公式（1）把表 10 中的指标信息、权重信息化成三角形模糊数，得到

③ 由公式（3’）和（4）将 $F$ 中的数据进行归一加权化，得到模糊决策矩阵 $D$ 。

④ 由公式（5）确定出模糊正理想与模糊负理想

⑤ 模糊优选决策

因此被选中的 8 个人员是人员 1、4、2、9、8、5、7、12。计算的 MATLAB 程序如下：

% 把表 3 中的数据复制到纯文本文件 mohu.txt 中，然后把 A 替换成 85 90 100，
% B 替换成 75 80 85，C 替换成 60 70 75，D 替换成 50 55 60
clc, clear
load mohu.txt
sj = [repmat(mohu(:, 1), 1, 3), mohu(:, 2:end)];
% 首先进行归一化处理
n = size(sj, 2) / 3;
m = size(sj, 1);
w = [0.5 * ones(1, 3), 0.125 * ones(1, 12)];
w = repmat(w, m, 1);
y = [];
for i = 1:ntm = sj(:, 3 * i - 2:3 * i);max_t = max(tm);max_t = repmat(max_t, m, 1);max_t = max_t(:, 3:-1:1);yt = tm ./ max_t;yt(:, 3) = min([yt(:, 3)'; ones(1, m)]);y = [y, yt];
end
% 下面求模糊决策矩阵
r = [];
for i = 1:ntm1 = y(:, 3 * i - 2:3 * i);tm2 = w(:, 3 * i - 2:3 * i);r = [r, tm1 .* tm2];
end
% 求 M＋、M－和距离
mplus = max(r);
mminus = min(r);
dplus = dist(mplus, r');
dminus = dist(mminus, r');
% 求隶属度
mu = dminus ./ (dplus + dminus);
[mu_sort, ind] = sort(mu, 'descend');

习题

（工程评标问题）某建设单位组织一项工程项目的招标，现组建成评标专家组对 4 个投标单位的标书进行评标。4 个标书的指标信息见表 13，其中前三个指标信息是各投标单位给定的精确数据，后三个指标信息是评标专家组经考察后的定性结论。请你帮评标专家组设计一个工程评标模型，以确定最后中标单位.

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