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Bellman-Ford算法是一种用于解决单源最短路径问题的算法，它可以在加权图中找到从一个源点到所有其他顶点的最短路径，即使图中包含负权边。与Dijkstra算法不同，Bellman-Ford算法能够处理负权边，并且可以检测图中是否存在负权环。

Bellman-Ford算法的基本思想

Bellman-Ford算法的核心思想是动态规划。它通过逐步松弛（relaxation）图中的所有边，逐步逼近最短路径的值。算法的基本步骤如下：

1. 初始化：

   • 将源点到自身的距离设为0，即 dist[source] = 0。
   • 将源点到其他所有顶点的距离设为无穷大，即 dist[v] = +∞。

2. 松弛操作：

   • 对图中的每条边 (u, v)，尝试更新从源点到顶点 v 的距离：

     if dist[u] + weight(u, v) < dist[v]:dist[v] = dist[u] + weight(u, v)
     

   • 这个操作称为松弛，目的是找到更短的路径。

3. 重复松弛操作：

   • 对所有边重复上述松弛操作 n-1 次（其中 n 是图中顶点的数量）。根据最短路径的性质，任何最短路径最多包含 n-1 条边，因此经过 n-1 次松弛后，所有最短路径的值都会被正确计算。

4. 检测负权环：

   • 再次遍历所有边，如果还能找到可以松弛的边（即 dist[u] + weight(u, v) < dist[v]），则说明图中存在负权环，无法找到最短路径。

Bellman-Ford算法的实现

以下是Bellman-Ford算法的标准实现：

#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
#include <climits>
using namespace std;struct Edge {int u, v, weight; // 表示边 (u, v)，权重为 weight
};bool bellmanFord(int n, int source, vector<Edge>& edges, vector<int>& dist) {// 初始化距离数组dist.assign(n + 1, INT_MAX); // 假设顶点编号从1开始dist[source] = 0; // 源点到自身的距离为0// 进行 n-1 次松弛操作for (int i = 1; i < n; i++) {bool updated = false; // 用于检测是否还有更新for (const auto& e : edges) {if (dist[e.u] != INT_MAX && dist[e.u] + e.weight < dist[e.v]) {dist[e.v] = dist[e.u] + e.weight;updated = true;}}if (!updated) break; // 如果没有更新，提前终止}// 检测负权环for (const auto& e : edges) {if (dist[e.u] != INT_MAX && dist[e.u] + e.weight < dist[e.v]) {return false; // 存在负权环}}return true; // 不存在负权环
}int main() {int n, m, source;cout << "Enter number of vertices and edges: ";cin >> n >> m;cout << "Enter source vertex: ";cin >> source;vector<Edge> edges;cout << "Enter edges (u, v, weight):" << endl;for (int i = 0; i < m; i++) {Edge e;cin >> e.u >> e.v >> e.weight;edges.push_back(e);}vector<int> dist;if (bellmanFord(n, source, edges, dist)) {cout << "Shortest distances from source vertex " << source << ":" << endl;for (int i = 1; i <= n; i++) {if (dist[i] == INT_MAX) {cout << "Vertex " << i << ": No path" << endl;} else {cout << "Vertex " << i << ": " << dist[i] << endl;}}} else {cout << "Graph contains a negative-weight cycle." << endl;}return 0;
}

算法复杂度

• 时间复杂度：O(V * E)，其中 V 是顶点数，E 是边数。因为算法需要对所有边进行 V-1 次松弛操作。
• 空间复杂度：O(V)，主要用来存储距离数组。

适用场景

Bellman-Ford算法适用于以下场景：

1. 图中可能包含负权边。
2. 需要检测图中是否存在负权环。
3. 图的边数较少（相对于顶点数），因为算法的时间复杂度较高。

如果图中没有负权边，且边数较多，通常推荐使用Dijkstra算法，因为它的时间复杂度更低（O(E + V log V)）。