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假设 1 描述了一种统计场景，我们分析一组随机变量 { Y i } i = 1 n \{Y_i\}_{i=1}^n {Yi​}i=1n​，目的是在存在污染或对抗性噪声的情况下检测其底层分布的变化。以下是该假设的详细解释：

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1. 随机变量的分布结构

每个随机变量 $Y_i$ 都被建模为一个混合分布：

$$(1-{\epsilon }_i)F_i+{\epsilon }_i{H}_i$$

各符号含义：

• $F_i$：随机变量的主要分布（干净数据的分布）。
  • $F_i$ 的均值为 $f_i$。
  • $F_i$ 的方差被一个上界 ${\sigma }^2<\infty$ 限制。
• $H_i$：随机变量可能受到的对抗性噪声或污染的分布（攻击者可以自由选择）。
• ${\epsilon }_i\in [0,1/2)$：污染比例，表示在 $Y_i$ 中，来自 $H_i$ 的噪声的权重。
  • 全局污染比例 $\epsilon$ 是所有 ${\epsilon }_i$ 的上界。

这意味着每个 $Y_i$ 的观测值可能由两部分组成：

1. 主要分布 $F_i$，权重是 $1-{\epsilon }_i$；
2. 污染分布 $H_i$，权重是 ${\epsilon }_i$。

直观解释：

这是一个典型的污染模型，其中数据 $Y_i$ 的主要来源是 $F_i$，但可能被一定比例的噪声污染。污染比例不超过 $\epsilon$ 且小于 $1/2$，确保 $F_i$ 仍是主要贡献。

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2. 分布的变化和变化点检测

假设中，序列的分布 $F_i$ 可能会在某些位置发生变化，而这些变化点是我们希望检测的目标。

变化点结构：

假设 { η k } k = 0 K + 1 \{\eta_k\}_{k=0}^{K+1} {ηk​}k=0K+1​ 是一个严格递增的整数序列，表示变化点的位置，满足：

• ${\eta }_0=0$，${\eta }_{K+1}=n$：整个序列的起始和结束。
• f t + 1 ≠ f t ⟺ t ∈ { η k } k = 1 K f_{t+1} \neq f_t \iff t \in \{\eta_k\}_{k=1}^K ft+1​=ft​⟺t∈{ηk​}k=1K​：分布的均值 $f_i$ 只有在变化点时才会发生变化。
• 在每个变化点之间（即区间 $[{\eta }_k,{\eta }_{k+1})$ 内，$F_i$ 保持不变：$F_{{\eta }_k}=\dots =F_{{\eta }_{k+1}-1}$。

最小间隔 $L$：

$$L=\underset{k=0}{\overset{K}{\min }}({\eta }_{k+1}-{\eta }_k)$$
表示两个变化点之间的最小距离，确保变化点之间有足够的间隔以便于检测。

最小变化幅度 $\kappa$：

$$\kappa =\underset{k=1}{\overset{K}{\min }}|f_{{\eta }_k+1}-f_{{\eta }_k}|$$
表示分布均值的最小变化幅度。如果 $\kappa >0$，则变化是显著的，可以通过某种检测方法识别出来。

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3. 检测目标

在上述假设下，我们的目标是：

• 检测分布 $F_i$ 的变化点：找到所有 k ∈ { 1 , … , K } k \in \{1, \ldots, K\} k∈{1,…,K}。
• 对抗污染的干扰：即使存在来自 $H_i$ 的对抗性噪声，仍然要准确检测变化点。

对抗性噪声的威胁：

1. 制造伪变化点：攻击者可能设计 $H_i$，使得看起来像有变化点，实际上没有。
2. 掩盖真实变化点：攻击者可能利用 $H_i$ 消除 $F_i$ 中的变化模式，使得变化点难以检测。

这两种威胁增加了检测问题的难度，因为攻击者可以有针对性地破坏检测算法。

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4. 应用场景

在某些应用中（如网络安全、工业监控等），攻击者可能对生成过程和污染模型有了解。因此，本研究首次讨论了在这种对抗性环境下的鲁棒变化点检测问题。

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总结

假设 1 说明了一种受污染的变化点检测问题：

• 数据主要来源于 $F_i$，但被比例不超过 $\epsilon$ 的噪声 $H_i$ 污染。
• 目标是检测分布的变化点，即均值 $f_i$ 的变化位置。
• 即使攻击者有能力设计 $H_i$ 来干扰检测，算法仍需鲁棒地检测出变化点。

该假设为讨论在对抗性环境下的鲁棒变化点检测提供了理论框架。