文章目录
- abstract
- 相关概念
- 概念比较
- 负数和正数的公倍数
- 最小公倍数的重要性质和定理
- 定理1
- 定理2
- 定理3
- 定理4 求多个数的最小公倍数
abstract
最小公倍数相关概念及其性质
相关概念
- 设 b 1 , b 2 , ⋯ , b k b_1, b_2, \cdots, b_k b1,b2,⋯,bk是都不为零的整数，如果整数 d d d是每一个 b j ( 1 ≤ j ≤ k ) b_j (1\leq j \leq k) bj(1≤j≤k)的倍数，则称 d d d为 b 1 , b 2 , ⋯ , b k b_1, b_2, \cdots, b_k b1,b2,⋯,bk的公倍数。
- b 1 , b 2 , ⋯ , b k b_1, b_2, \cdots, b_k b1,b2,⋯,bk的公倍数中的最小正数，称为这 k k k个数的最小公倍数，记为 [ b 1 , b 2 , ⋯ , b k ] [b_1, b_2, \cdots, b_k] [b1,b2,⋯,bk]。
- 这里 b j ∣ d b_{j}|d bj∣d,允许 d / b j d/b_{j} d/bj是负数或正数,但是最小公倍数 d d d必须是正数
概念比较
为什么最大公约数 ( a 1 ， a 2 ， ⋯ ， a n ) (a_{1}，a_{2}，\cdots，a_{n}) (a1，a2，⋯，an)的定义中要求 a 1 ， a 2 ， ⋯ ， a n a_{1}，a_{2}，\cdots，a_{n} a1，a2，⋯，an不全为零？
- 0是任何数的倍数,也就是任何数都是0的约数,对于全0的 n n n个数,不存在最大公约数
为什么最小公倍数 [ b 1 ， b 2 ， ⋯ ， b m ] [b_{1}，b_{2}，\cdots，b_{m}] [b1，b2，⋯，bm]的定义中要求 b 1 ， b 2 ， ⋯ ， b m b_{1}，b_{2}，\cdots，b_{m} b1，b2，⋯，bm都不为零？
- 0不作为任何数的约数,任何数乘以0都是0(0的任何倍数都是0),对于包含0的 n n n个数,不存在最小公倍数
负数和正数的公倍数
由于整数 b ≠ 0 b\neq0 b=0与$\left | b \right | $的倍数相同，故有 [ b 1 , b 2 ， … ， b m ] = [ ∣ b 1 ∣ , ∣ b 2 ∣ , … , ∣ b m ∣ ] . \left [ b_{1} , b_{2} ，…，b_{m}\right ] =\left [ \left | b_{1} \right | ,\left | b_{2} \right | ,…,\left | b_{m} \right |\right ] . [b1,b2，…，bm]=[∣b1∣,∣b2∣,…,∣bm∣].
因此在以下讨论中可设 b j （ 1 ≤ j ≤ m ） b_{j} （1\leq j\leq m） bj（1≤j≤m）是正整数.
最小公倍数的重要性质和定理
定理1
b 1 , b 2 , … ， b k b_{1} , b_{2} , …，b_{k} b1,b2,…，bk的任一公倍数必是其最小公倍数的倍数.
证明：用反证法.
记 s , b s,b s,b分别为 b 1 , b 2 ， … ， b k b_{1} , b_{2} ，…，b_{k} b1,b2，…，bk的最小公倍数和任一公倍数.
显然 b i ∣ s b_{i}|s bi∣s, b i ∣ b b_{i}|b bi∣b,其中 i = 1 , 2 , ⋯ , k i=1,2,\cdots,k i=1,2,⋯,k
如 s ∤ b s\nmid b s∤b,对这两个公倍数 s , b s,b s,b做带余除法
则由带余除法可得 b = q s + r , b=qs+r, b=qs+r, 0 < r < s . 0< r<s. 0<r<s.
由 r = b − q s r=b-qs r=b−qs和整除的性质 b i ∣ r b_{i}|r bi∣r, ( i = 1 , 2 , ⋯ , k ) (i=1,2,\cdots,k) (i=1,2,⋯,k),即 r r r也是 b 1 , b 2 ， … ， b k b_{1} , b_{2} ，…，b_{k} b1,b2，…，bk的公倍数
但 0 < r < s 0< r<s 0<r<s, 这表示 r r r是比 s s s更小的公倍数,这与已知条件 s s s是最小公倍数矛盾.
所以 s ∣ b s|b s∣b
定理2
设 a > 0 a>0 a>0， b > 0 b>0 b>0，则 $\left [ a , b \right ] =\frac{ab}{(a,b)} $.
最大公约数可以用辗转相除法实际算出，该定理给出了最小公倍数的求法.
证明:
欲证明定理,可以将等式变形为: a b = [ a , b ] ( a , b ) ab=[a,b](a,b) ab=[a,b](a,b)
显然$a| (ab) , b| (ab) , 故 , 故 ,故ab 是 是 是a,b$的一个公倍数
结合定理1可知 [ a , b ] ∣ ( a b ) \left [ a , b \right ] |(ab) [a,b]∣(ab) . 因此可设 a b = [ a , b ] s ab=\left [ a , b \right ] s ab=[a,b]s.
由此， a = [ a , b ] b s , b = [ a , b ] a s a=\frac{\left [ a , b \right ] }{b}s , b=\frac{\left [ a , b \right ] }{a}s a=b[a,b]s,b=a[a,b]s, 所以 s ∣ a , s ∣ b s| a,s| b s∣a,s∣b. 因此有 s ∣ ( a , b ) s|(a,b) s∣(a,b).
可以设 ( a , b ) = s l (a,b)=sl (a,b)=sl, ( l ∈ Z + ) (l\in\mathbb{Z_{+}}) (l∈Z+),于是 a b = [ a , b ] ( a , b ) l . ab=[a,b]\frac{(a,b)}{l}. ab=[a,b]l(a,b).（1）
另一方面，由 ( a , b ) ∣ ( a b ) (a,b)|(ab) (a,b)∣(ab)，故可设 a b = ( a , b ) t ab=(a,b)t ab=(a,b)t.
由此， t = a ( a , b ) b , t = b ( a , b ) a , t=\frac{a}{(a,b)}b,\quad t=\frac{b}{(a,b)}a, t=(a,b)ab,t=(a,b)ba,所以 b ∣ t , a ∣ t . b|t,a|t. b∣t,a∣t.又由定理1有 [ a , b ] ∣ t . [a,b]|t. [a,b]∣t.
可以设 t = [ a , b ] m t=[a,b]m t=[a,b]m, ( m ∈ Z + ) (m\in\mathbb{Z_{+}}) (m∈Z+)
于是 a b = ( a , b ) [ a , b ] m . ab=(a,b)[a,b]m. ab=(a,b)[a,b]m. （2）
由式(1,2),可得 1 l = m ∈ Z \frac{1}{l}=m\in\mathbb{Z} l1=m∈Z即得 l = m = 1 l=m=1 l=m=1.
定理3
设 m > 0 m>0 m>0，则 [ m a 1 , \left[ ma_{1}\right., [ma1, $ma_{2}] = m\left[a_{1},\right. a_{2}]. $
证明：由定理2及最大公约数性质可得
[ m a 1 , m a 2 ] = ( m a 1 ) ( m a 2 ) ( m a 1 , m a 2 ) = m 2 a 1 a 2 m ( a 1 , a 2 ) = m a 1 a 2 ( a 1 , a 2 ) = m [ a 1 , a 2 ] . [ ma_{1},ma_{2}] = \frac{(ma_{1})(ma_{2})}{(ma_{1}, ma_{2})} = \frac{m^{2}a_{1}a_{2}}{m(a_{1},a_{2})} = m\frac{a_{1}a_{2}}{(a_{1},a_{2})} = m[a_{1}, a_{2}]. [ma1,ma2]=(ma1,ma2)(ma1)(ma2)=m(a1,a2)m2a1a2=m(a1,a2)a1a2=m[a1,a2].
定理4 求多个数的最小公倍数
求 k ( > 2 ) k\left(>2\right) k(>2)个数 b 1 b_{1} b1， b 2 b_{2} b2，…， b k b_{k} bk的最小公倍数也可以用连续求两个数的最小公倍数去完成.
设 [ b 1 , \left[b_{1},\right. [b1, b 2 ] = s 2 , b_{2}] = s_{2}, b2]=s2, [ s 2 , \left[s_{2},\right. [s2, b 3 ] = s 3 , b_{3}] = s_{3}, b3]=s3, … , [ s k − 1 , \left[s_{k - 1},\right. [sk−1, b k ] = s k , b_{k}] = s_{k}, bk]=sk,则 [ b 1 , b 2 , ⋯ , b k ] [b_{1},b_{2},\cdots, b_{k}] [b1,b2,⋯,bk]= s k s_{k} sk(1)
说明:
结论也可以写作 [ b 1 , b 2 , ⋯ , b k ] [b_{1},b_{2},\cdots, b_{k}] [b1,b2,⋯,bk]= [ [ ⋯ [ [ b 1 , b 2 ] , b 3 ] , ⋯ ] , b k ] [[\cdots[[b_{1},b_{2}],b_{3}],\cdots],b_{k}] [[⋯[[b1,b2],b3],⋯],bk](2)
根据该定定理,显然 s i s_{i} si= [ b 1 , b 2 , ⋯ , b i ] [b_{1},b_{2},\cdots,b_{i}] [b1,b2,⋯,bi](3)
在许多推理和运算中,我们不仅使用(1)或(2)来计算多个数的最小公倍数,还可能逆用公式
[ [ ⋯ [ [ b 1 , b 2 ] , b 3 ] , ⋯ ] , b k ] [[\cdots[[b_{1},b_{2}],b_{3}],\cdots],b_{k}] [[⋯[[b1,b2],b3],⋯],bk]= [ b 1 , b 2 , ⋯ , b k ] [b_{1},b_{2},\cdots, b_{k}] [b1,b2,⋯,bk](2-1),可以用来去 [ ] [\ ] [ ]运算
例如 [ [ b 1 , b 2 ] , b 3 ] [[b_{1},b_{2}],b_{3}] [[b1,b2],b3]= [ b 1 , b 2 , b 3 ] [b_{1},b_{2},b_{3}] [b1,b2,b3]
[ [ b 1 , b 2 ] , [ b 3 , b 4 ] ] [[b_{1},b_{2}],[b_{3},b_{4}]] [[b1,b2],[b3,b4]]= [ b 1 , b 2 , [ b 3 , b 4 ] ] [b_{1},b_{2},[b_{3},b_{4}]] [b1,b2,[b3,b4]]= [ b 1 , b 2 , b 3 , b 4 ] [b_{1},b_{2},b_{3},b_{4}] [b1,b2,b3,b4]
这与求多个整数的最大公约数时有相仿的结论,求最小公倍数运算满足交换律和结合律
证明：
记 [ b 1 , b 2 , . . . , b k ] = s [b_1,b_2,...,b_k]=s [b1,b2,...,bk]=s.
由定理条件中的等式串可知, s i ∣ s i + 1 s_i|s_{i+1} si∣si+1, ( 2 ⩽ i ⩽ k − 1 ) (2\leqslant i\leqslant k-1) (2⩽i⩽k−1),知 s i ∣ s k s_i|s_k si∣sk, ( 2 ⩽ i ⩽ k − 1 ) (2\leqslant i\leqslant k-1) (2⩽i⩽k−1).
又因为 b 1 ∣ s 2 , b i ∣ s i , 2 ⩽ i ⩽ k b_1|s_2,b_i|s_i,2\leqslant i\leqslant k b1∣s2,bi∣si,2⩽i⩽k,所以 s k s_k sk是 b 1 , b 2 , ⋯ , b k b_1,b_2,\cdots,b_k b1,b2,⋯,bk的一个公倍数.因此有 s ∣ s k s|s_k s∣sk. (由定理1可得)
另一方面,反复利用定理1，由 b 1 ∣ s , b 2 ∣ s b_1|s,b_2|s b1∣s,b2∣s知 s 2 ∣ s s_2|s s2∣s.同样由 s 2 ∣ s , b 3 ∣ s s_2|s,b_3|s s2∣s,b3∣s知 s 3 ∣ s s_3|s s3∣s.依次类推最后得到 s k ∣ s s_k|s sk∣s.
于是得到 s = s k s=s_k s=sk.