目录
一、拓扑排序介绍
定义
特点
实现方法（2种）
应用
二、题目与题解
题目：卡码网 117. 软件构建
题目链接
题解：拓扑排序 - Kahn算法（BFS）
三、小结
一、拓扑排序介绍
对于拓扑排序，可以看看b站这个视频了解一下基本原理：图-拓扑排序
定义
拓扑排序（Topological Sorting）是对有向无环图（Directed Acyclic Graph，简称DAG）进行排序的一种算法。在图论中，拓扑排序为一个线性序列，这个序列满足对于每一条有向边(u, v)，u在序列中都出现在v之前。换句话说，拓扑排序是对有向图顶点的一种线性排序，使得对于每一条有向边(u, v)，u在排序中都在v之前。
特点
一、有向无环图：拓扑排序只适用于DAG，如果图中存在环，则无法进行拓扑排序。（故可以通过拓扑排序检查图中是否存在环）
二、线性序列：拓扑排序的结果是一个线性的序列，满足边的方向性要求。
三、唯一性：一个DAG可能有多个拓扑排序序列。
实现方法（2种）
-
Kahn算法（BFS）：
- 计算所有顶点的入度。
- 将所有入度为0的顶点入队。
- 当队列非空时：
- 从队列中取出一个顶点，将其添加到拓扑序列中。
- 减少其所有出边指向的顶点的入度。
- 如果某个顶点的入度变为0，将其入队。
-
深度优先搜索（DFS）：
- 对于每个顶点，如果它没有被访问过，从它开始进行深度优先搜索。
- 在DFS结束时，将该顶点添加到拓扑序列的开始位置。
- 重复上述过程，直到所有的顶点都被访问过。
应用
-
项目调度：（1）在项目管理中，确定任务执行的顺序，使得所有前置任务都完成后才开始后续任务。 （2）在敏捷开发或瀑布模型中，确定各个阶段的完成顺序。
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课程安排：在大学课程设计中，确定课程的学习顺序，考虑到某些课程是其他课程的前提条件。
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编译依赖：在编译大型软件项目时，确定源文件的编译顺序，以确保所有依赖关系都得到满足。
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任务优先级：在操作系统中，确定进程或线程的执行顺序，考虑到某些任务必须在其他任务之后执行。
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网站链接结构分析：确定网页之间的链接关系，用于搜索引擎优化或网站导航设计。
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事件序列化：在日志分析中，确定事件发生的先后顺序，特别是当事件之间存在因果关系时。
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文件依赖解析：在文件系统或版本控制系统中，确定文件修改的顺序，以避免冲突和错误。
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有向无环图分析：在任何DAG（有向无环图）的分析中，确定顶点的一个线性序列，使得对于每一条有向边(u, v)，u在序列中都出现在v之前。
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层次结构排序：确定组织结构或分类层次中的元素的顺序，如公司员工、产品类别等。
二、题目与题解
题目：卡码网 117. 软件构建
题目链接
117. 软件构建 (kamacoder.com)
题目描述
某个大型软件项目的构建系统拥有 N 个文件，文件编号从 0 到 N - 1，在这些文件中，某些文件依赖于其他文件的内容，这意味着如果文件 A 依赖于文件 B，则必须在处理文件 A 之前处理文件 B （0 <= A, B <= N - 1）。请编写一个算法，用于确定文件处理的顺序。
输入描述
第一行输入两个正整数 N, M。表示 N 个文件之间拥有 M 条依赖关系。
后续 M 行，每行两个正整数 S 和 T，表示 T 文件依赖于 S 文件。
输出描述
输出共一行，如果能处理成功，则输出文件顺序，用空格隔开。
如果不能成功处理（相互依赖），则输出 -1。
输入示例
5 4 0 1 0 2 1 3 2 4输出示例
0 1 2 3 4提示信息
文件依赖关系如下：
所以，文件处理的顺序除了示例中的顺序，还存在
0 2 4 1 3
0 2 1 3 4
等等合法的顺序。
数据范围：
0 <= N <= 10 ^ 5
1 <= M <= 10 ^ 9
每行末尾无空格。
题解：拓扑排序 - Kahn算法（BFS）
这题是拓扑排序一个基本的应用：文件依赖问题。
Kahn算法的基本思路：
- 计算所有顶点的入度。
- 将所有入度为0的顶点入队。
- 当队列非空时：
- 从队列中取出一个顶点，将其添加到拓扑序列中。
- 减少其所有出边指向的顶点的入度。
- 如果某个顶点的入度变为0，将其入队。
代码如下：
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;int main()
{int n, m; // n表示文件数量，m表示依赖关系的数量cin >> n >> m;vector<int> inDegree(n, 0); // 初始化所有文件的入度为0// 使用哈希表存储文件依赖关系，键（key）为文件编号，值（value）为依赖于该文件的文件列表unordered_map<int, vector<int>> dependencies;vector<int> ans; // 用于存储拓扑排序的结果// 读取依赖关系并构建依赖图for (int i = 0; i < m; i++){int s, t;cin >> s >> t;inDegree[t]++; // 文件t依赖于文件s，因此文件t的入度增加dependencies[s].push_back(t); // 记录文件s的依赖列表}// 初始化队列，将所有入度为0的文件加入队列queue<int> q;for (int i = 0; i < n; ++i){if (inDegree[i] == 0){q.push(i);}}// 进行拓扑排序while (!q.empty()){int cur = q.front(); // 取出当前入度为0的文件q.pop();ans.push_back(cur); // 将其加入拓扑排序结果中for (int next : dependencies[cur]) // 遍历当前文件依赖的所有文件{--inDegree[next]; // 减少依赖文件的入度if (inDegree[next] == 0) // 如果入度变为0，说明所有依赖的文件都已经处理过，可以将其加入队列{q.push(next);}}}// 检查是否所有文件都已处理，如果没有，说明存在循环依赖if (ans.size() == n){// 输出拓扑排序结果for (int i = 0; i < ans.size(); ++i){cout << ans[i];if (i < ans.size() - 1){cout << " "; // 在文件编号之间添加空格，最后一个文件后不加空格（特别注意）}}}else // 如果结果集大小不等于文件数量，说明存在循环依赖{cout << -1 << endl;}return 0;
}
这题当然也可以通过DFS实现，即是采用递归的思路，这里就不过多介绍了。对于拓扑排序问题，一般选择Kahn算法。
三、小结
最近图论章节的难度较大，打卡有延误。不过训练营的打卡也快要结束了，后边会继续加油打卡！