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如何计算矩阵 $C$ 的行秩为 2

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给定矩阵 $C$：
$$C=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\\ 5& 6\end{array}\right)$$

这是一个 $3\times 2$ 的矩阵，包含 3 个行向量和 2 个列向量。

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目标：

计算矩阵 $C$ 的行秩，即确定其行向量中最大线性无关向量的数量。

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方法：

我们可以通过以下两种方法来计算行秩：

1. 初等行变换：将矩阵化为行阶梯形矩阵，非零行的数量即为行秩。
2. 线性相关性分析：检查行向量之间是否存在线性关系。

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方法一：初等行变换

步骤 1：写出矩阵
$$C=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\\ 5& 6\end{array}\right)$$

步骤 2：消元

（a）消去第二行的首元素

使用第一行消去第二行的首元素：
$${\text{R}}_2^{\prime }={\text{R}}_2-3\times {\text{R}}_1$$

计算：

• 第2行第1列：$3-3\times 1=0$
• 第2行第2列：$4-3\times 2=4-6=-2$

新的第二行：
$${\text{R}}_2^{\prime }=\left(\begin{array}{cc}0& -2\end{array}\right)$$

（b）消去第三行的首元素

使用第一行消去第三行的首元素：
$${\text{R}}_3^{\prime }={\text{R}}_3-5\times {\text{R}}_1$$

计算：

• 第3行第1列：$5-5\times 1=0$
• 第3行第2列：$6-5\times 2=6-10=-4$

新的第三行：
$${\text{R}}_3^{\prime }=\left(\begin{array}{cc}0& -4\end{array}\right)$$

步骤 3：矩阵更新
$$\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& -2\\ 0& -4\end{array}\right)$$

步骤 4：化简第二行

将第二行除以 $-2$ 使其首项为 1：
$${\text{R}}_2^{\prime \prime }=\frac{{\text{R}}_2^{\prime }}{-2}=\left(\begin{array}{cc}0& 1\end{array}\right)$$

（a）消去第三行的第二个元素

使用新的第二行消去第三行的第二个元素：
$${\text{R}}_3^{\prime \prime }={\text{R}}_3^{\prime }-(-4)\times {\text{R}}_2^{\prime \prime }={\text{R}}_3^{\prime }+4\times {\text{R}}_2^{\prime \prime }$$

计算：

• 第3行第1列：$0+4\times 0=0$
• 第3行第2列：$-4+4\times 1=0$

新的第三行：
$${\text{R}}_3^{\prime \prime }=\left(\begin{array}{cc}0& 0\end{array}\right)$$

步骤 5：得到行阶梯形矩阵
$$\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 1\\ 0& 0\end{array}\right)$$

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结论：

行阶梯形矩阵中有两个非零行，因此矩阵 $C$ 的行秩为 2。

• 行阶梯形矩阵是一种特殊的矩阵形式，其非零行在零行的上面，并且首非零元所在列的后面没有其他非零元。
• 行阶梯形矩阵中，非零行的数量就是矩阵的秩。

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方法二：线性相关性分析

行向量表示：
$$\begin{gathered} {\mathbf{r}}_1=\left(\begin{array}{cc}1& 2\end{array}\right) \\ {\mathbf{r}}_2=\left(\begin{array}{cc}3& 4\end{array}\right) \\ {\mathbf{r}}_3=\left(\begin{array}{cc}5& 6\end{array}\right) \end{gathered}$$

检验是否存在非零系数 $a,b,c$，使得：
$$a\cdot {\mathbf{r}}_1+b\cdot {\mathbf{r}}_2+c\cdot {\mathbf{r}}_3=0$$

尝试表示第三个行向量为前两个的线性组合：

假设存在实数 $p,q$，使得：
$${\mathbf{r}}_3=p\cdot {\mathbf{r}}_1+q\cdot {\mathbf{r}}_2$$

建立方程组：

• 对于第一个元素：
  $$5=p\times 1+q\times 3$$

• 对于第二个元素：
  $$6=p\times 2+q\times 4$$

求解：

从第一个方程：
$$5=p+3q\Rightarrow p=5-3q$$

代入第二个方程：
$$\begin{gathered} 6=(5-3q)\times 2+4q \\ 6=10-6q+4q \\ 6=10-2q \end{gathered}$$

解得：
$$-2q=6-10\Rightarrow q=2$$

求 $p$：
$$p=5-3\times 2=-1$$

验证：
$${\mathbf{r}}_3=(-1)\cdot {\mathbf{r}}_1+2\cdot {\mathbf{r}}_2$$

因此，第三个行向量可以由前两个行向量线性表示，说明三个行向量线性相关。

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结论：

• 线性无关的行向量数量为 2，即行秩为 2。
• 第三个行向量是前两个的线性组合。

线性相关性分析中矩阵的秩等于其行秩（矩阵中线性无关的行的最大数目）和列秩（矩阵中线性无关的列的最大数目）中的较小者

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总结

• 矩阵 $C$ 的行秩为 2，因为经过初等行变换得到两个非零行，或通过线性相关性分析得出只有两个线性无关的行向量。
• 矩阵 $C$ 的列秩为 2，因为其两个列向量线性无关（此处未列出计算步骤和说明）。
• 因此，矩阵 $C$ 的秩为 2。

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进一步说明：

• 矩阵 $C$ 不是行满秩矩阵：行数 $m=3$，但秩 $r=2$，即 $r<m$。
• 矩阵 $C$ 是列满秩矩阵：列数 $n=2$，且秩 $r=2$，即 $r=n$。

满秩矩阵是指矩阵的秩等于其行数或列数中的较小者，因此矩阵 $C$ 是满秩矩阵

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小结：

通过初等行变换和线性相关性分析，我们确定了矩阵 $C$ 的行秩为 2。这意味着在矩阵的行向量中，只有两个是线性无关的，第三个行向量可以由前两个行向量线性表示。