目标规划是一种数学规划方法，它允许在多个目标之间进行权衡，以找到最优解。
在MATLAB中，可以使用优化工具箱中的函数来求解目标规划问题。例如，`linprog` 函数可以用于求解线性规划问题，而 `fmincon` 函数可以用于求解有约束的非线性规划问题。对于多目标规划，可以使用 `fgoalattain` 函数来求解，该函数允许设置目标函数希望达到的目标值和权重。
在数学方程模型建立完成之后，我们需要用到矩阵的知识来编写MATLAB代码求解。接下来以求解线性规划问题的`linprog` 作为示例。
一：linprog的基本语法
在MATLAB中，linprog 函数用于求解线性规划问题。它的基本语法如下：
x = linprog(f, A, b, Aeq, beq, lb, ub, x0)其中各个参数的意义如下：
f：目标函数的系数向量，表示为c' * x，其中c是f，x是决策变量向量。A：不等式约束的系数矩阵，表示为A * x <= b。b：不等式约束的右侧值向量。Aeq：等式约束的系数矩阵，表示为Aeq * x = beq。beq：等式约束的右侧值向量。lb：决策变量的下界向量。ub：决策变量的上界向量。x0：决策变量的初始点（可选参数）。- 若不存在不等式约束，用“ [ ]” 代替𝐴和𝑏： [𝑥, fval ]= linprog (𝑓,[ ],[ ],𝐴𝑒𝑞, beq ,𝑙𝑏,𝑢𝑏)
- 若不存在等式约束，用“ [ ]” 代替𝐴𝑒𝑞和𝑏𝑒𝑞： [𝑥, fval ]= linprog (𝑓,𝐴,𝑏,[ ], [ ] ,𝑙𝑏,𝑢𝑏)
- 没有等式约束和最小、最大取值的约束时，可以不写𝐴𝑒𝑞,𝑏𝑒𝑞 和𝑙𝑏,𝑢𝑏： [𝑥, fval ]= linprog (𝑓,𝐴,𝑏)
- 若题目求最大值：目标函数等号两端加负号转为求最小值，求解后目标值再取负
linprog 函数返回的 x 是最优解向量，即在满足所有约束条件的前提下，使得目标函数达到最小值的 x 值。
二：linprog的应用示例
目标函数和约束条件：
- 目标函数：假设我们有一个目标函数，比如
f = c * x，其中c是系数向量，x是决策变量向量。 - 约束条件：这些约束可以表示为
A * x <= b（不等式约束）和Aeq * x = beq（等式约束），其中A和Aeq是约束系数矩阵，b和beq是约束值向量。
下面是一个具体的问题背景：
有一个生产优化问题，其中涉及到三种产品（决策变量向量则包含三个元素）的生产成本最小化。
1. 目标函数：目标是最小化生产这三种产品的总成本，每种产品的成本系数分别为2, 3, 4。
2. 资源约束：
- 原材料：所有三种产品都需要同种原材料，原材料的总量不超过100。
- 特殊劳动力：只有产品2需要特殊劳动力，特殊劳动力的总量不超过50。
- 特殊设备：只有产品3需要特殊设备，特殊设备的总量不超过60。
3. 市场需求约束：市场需求与产品数量的关系是线性的，总市场需求是150，这意味着生产的产品总量需要满足这个市场需求。
4. 变量界限：每种产品至少生产0个，没有上限。
通过`linprog`函数，我们可以找到在满足所有约束条件下，最小化总成本的生产策略。
% 定义目标函数系数（成本系数）
c = [2; 3; 4]; % 假设生产三种产品的成本系数分别为2, 3, 4% 定义不等式约束矩阵和右侧值
A = [1, 1, 1; % 假设每种产品都需要同种原材料0, 1, 0; % 假设只有产品2需要特殊劳动力0, 0, 1]; % 假设只有产品3需要特殊设备
b = [100; % 原材料总量不超过10050; % 特殊劳动力不超过5060]; % 特殊设备不超过60% 定义等式约束矩阵和右侧值
Aeq = [1, 2, 3]; % 假设市场需求与产品数量的关系是线性的
beq = [150]; % 总市场需求是150% 定义变量的界限，即每种产品至少生产0个
lb = [0; 0; 0];
ub = [Inf; Inf; Inf];% 使用linprog求解
options = optimoptions('linprog', 'Algorithm', 'dual-simplex');
[x, fval] = linprog(c, A, b, Aeq, beq, lb, ub, options);% 输出结果
disp('Solution:');
disp(x);
disp('Objective Function Value:');
disp(fval);找到在不等式和等式约束条件下的最优解为：产品1，产品2，产品3的产量分别为0, 0, 50。最小总成本为200。
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