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【数学分析笔记】第1章第1节:集合(1)

2024/12/23 20:26:23 来源:https://blog.csdn.net/qq_30204431/article/details/141062631  浏览:    关键词:【数学分析笔记】第1章第1节:集合(1)

作为一个计算机专业的人,想自学一下数学专业的专业课补一补AI基础,顺带写个笔记,听的课是陈纪修版本的数学分析:

1. 集合与映射

1.1 集合

1.1.1 基本概念

  • 集合:由某种特定性质的具体的或抽象的对象汇集的总体。

  • 集合的元素:集合中的“对象”又称为集合的元素。

  • 集合往往是用大写字母表示,比如 S , T , A , B , X , Y \textbf{S},\textbf{T},\textbf{A},\textbf{B},\textbf{X},\textbf{Y} S,T,A,B,X,Y

  • 对元素来说往往是用小写字母表示,比如
    s , t , a , b , x , y s,t,a,b,x,y s,t,a,b,x,y

  • x x x是集合 S S S的元素,记为 x ∈ S x\in \textbf{S} xS

  • y y y不是集合 S S S的元素,记为 y ∈ ˉ S y\bar \in \textbf{S} yˉS y ∉ S y\notin \textbf{S} y/S

1.1.2 常见的集合

常见的集合表示如下:

类型符号说明
正整数集合 N + \textbf{N}^{+} N+ { 1 , 2 , 3 , . . . } \{1,2,3,...\} {1,2,3,...}
自然数集合 N \textbf{N} N { 0 , 1 , 2 , . . . } \{0,1,2,...\} {0,1,2,...}
整数集合 Z \textbf{Z} Z { . . . , − 1 , 0 , 1 , . . . } \{...,-1,0,1,...\} {...,1,0,1,...}
有理数集合 Q \textbf{Q} Q有理数是整数(正整数、0、负整数)和分数的统称,是整数和分数的集合
实数集合 R \textbf{R} R实数是有理数和无理数的总称
空集 ∅ \emptyset 没有任何元素的集合

1.2 集合的表示

1.2.1 枚举法

所谓枚举法就是将集合中的元素一个一个写出来。
【例】光的基色的集合
{ 红 , 绿 , 蓝 } \{红,绿,蓝\} {,绿,}

【例】 A \textbf{A} A a , b , c , d a,b,c,d a,b,c,d构成的集合
A = { a , b , c , d } \textbf{A}=\{a,b,c,d\} A={a,b,c,d}

【例】整数集合
Z = { ± 1 , ± 2 , . . . , ± n , . . . } \textbf{Z}=\{\pm 1,\pm 2,...,\pm n,...\} Z={±1,±2,...,±n,...}

【例】正整数集合
N + = { 1 , 2 , 3 , . . . , n , . . . } \textbf{N}^{+}=\{1,2,3,...,n,...\} N+={1,2,3,...,n,...}

1.2.2 描述法

一个集合是具有某种性质 p p p元素汇集的总体, S = { x ∣ x 满足性质 p } \textbf{S}=\{x|x满足性质p\} S={xx满足性质p},像这样一个描述集合的方法叫做描述法
【例】2的方根
{ x ∣ x 2 = 2 } \{x|x^{2}=2\} {xx2=2}

【例】有理数集合
Q = { x ∣ x = q p , p ∈ N + 且 q ∈ Z } \textbf{Q}=\{x|x=\frac{q}{p},p\in \textbf{N}^{+}且q\in \textbf{Z}\} Q={xx=pq,pN+qZ}

【注】(1)集合的表示中没有次序的关系,比如, { a , b } = { b , a } \{a,b\}=\{b,a\} {a,b}={b,a};重复也是有意义的(重复的元素相当于一个元素), { a , b } = { b , a } = { a , a , b } \{a,b\}=\{b,a\}=\{a,a,b\} {a,b}={b,a}={a,a,b}
(2)空集的概念:没有元素的集合称为空集,比如, C = { x ∈ R 且 x 2 = − 1 } = ∅ \textbf{C}=\{x\in \textbf{R}且x^{2}=-1\}=\emptyset C={xRx2=1}= C = { x ∈ R 且 x 2 + 1 = 0 } = ∅ \textbf{C}=\{x\in \textbf{R}且x^{2}+1=0\}=\emptyset C={xRx2+1=0}=

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