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图

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一、图的基本概念

感觉要想怎么定义图，图就是顶点和边组成的集合。完了图中有一些比较容易混淆的概念，这些都得有个印象。

先总体给个图的定义：

图G由顶点集V（Vertex）和边集E（Edge）组成，记为G={V，E}，其中V(G)表示图G中顶点的有限非空集；E(G)表示图G中顶点之间的关系（边）集合。

若V={v₁，v₂，…，v_n}，则用|V|表示图G中顶点的个数，也称图G的阶，E={(u，v) | u∈V，v∈V}，用|E|表示图G中边的条数。

注意：线性表可以是空表，树可以是空树，但图不可以是空，即V一定是非空集。

有点干，上个图；

当然，由上面可知，一个图也可以只有顶点没有边，也就是有V，但E=∅。

1.图的分类、度、权等

我们根据图的边有没有方向可以把图分为有向图和无向图，即：

• 若E是无向边（简称边）的有限集合时，则图G为无向图。边是顶点的无序对，记为（v，w）或者（w，v），因为（v，w）=（w，v），其中v，w是顶点，可以说顶点w和顶点v互为邻接点。边（v，w）依附于顶点w和v，或者说边（v，w）和顶点v，w相关联。

• 若E是有向边（也称弧）的有限集合时，则图G为有向图。弧是顶点的有序对，记为<v，w>，其中v，w是顶点，v称为弧尾，w称为弧头，<v，w>称为从顶点v到w的弧，也称v邻接到w，或w邻接自v。<v，w>≠<w，v>

一个箭头 v ——＞w，弧尾就是v，弧头就是w，就把箭头的头当成弧头的头就行了。

图还分为简单图和多重图：

简单图：不存在重复边，不存在顶点到自身的边。
多重图：图G中某两个结点之间的边数多于一条，又允许顶点通过同一条边和自己关联，则G为多重图。

什么意思呢？就是说你看看这个图里面有没有自己指向自己的，有没有俩顶点有两个同样的边的，有就是多重图，没就是简单图，咱们未来只讨论简单图。

顶点的度、入度、出度

无向图

对于无向图而言，顶点v的度是指依附于该顶点的边的条数，记为TD(v)。

在具有n个顶点、e条边的无向图中，所有顶点的度之和=2e，即无向图的全部顶点的度的和等于边数的2倍。

有向图

入度是以顶点v为终点的有向边的数目，记为ID(v)；
出度是以顶点v为起点的有向边的数目，记为OD(v)；

顶点V的度等于其入度和出度之和，即TD(v)=ID(v)+OD(v).
在具有n个顶点、e条边的有向图中，所有顶点的入度之和=所有顶点的出度之和=e

2.路径、回路、连通等

• 路径——顶点v_p到顶点v_q之间的一条路径是指顶点序列v_p，v_i1，v_i2，…，v_im，v_q；

• 回路——第一个顶点和最后一个顶点相同的路径称为回路或环；

• 简单路径——在路径序列中，顶点不重复出现的路径称为简单路径；

• 简单回路——除第一个顶点和最后一个顶点外，其余顶点不重复出现的回路称为简单回路；

• 路径长度——路径上边的数目；

• 点到点的距离——从顶点u出发到顶点v的最短路径若存在，则此路径的长度称为从u到v的距离。

• 若从u到v根本不存在路径，则记该距离为无穷（∞）。

注意：有向图的路径也是有向的。

• 无向图中，若从顶点v到顶点w有路径存在，则称v和w是连通的；

• 有向图中，若从顶点v到顶点w和从顶点w到顶点v之间都有路径，则称这两个顶点是强连通的。

注意：连通指的是无向图，强连通指的是有向图。

• 若无向图图G中任意两个顶点都是连通的，则称图G为连通图，否则称为非连通图；

• 若有向图图G中任何一对顶点都是强连通的，则称此图为强连通图。

那这就有点要说的东西了，要开始问了：如果对于n个顶点的无向图G，若图G是连通图，则最少有多少条边？

既然是最少，那就是除了让它们这些顶点有一丝连接外其他的没必要的都没有，所以以一个顶点为基点，去向外连接各个其他顶点，这就是最少的情况，也就是n-1条边。（形状大概是一个爪型，最少嘛，再少就不是连通图了）

那再问一个，如果对于n个顶点的无向图G，若图G是非连通图，则最多有多少条边？

既然是最多，那就是先把一个顶点刨出来，让其他的顶点尽可能地多连，这个刨出来的顶点不和他们连（因为连了就是连通图，人家说要非连通图），所以最多可能有C²_n-1条边。

那么有向图也有要问一个，如果对于n个顶点的有向图G，若图G是强连通图，则最少有多少条边？

有向图，又要是强连通图，强连通图就是所有顶点之间都有路径（能走通就行，不一定是非得一个两顶点直连），那么最简便的方式就是直接一个接一个按照同方向串起来，所以最少有n条边（也就是形成回路的情况）。

3.连通分量、生成树等

在说图的局部之前，先说个子图是啥玩意儿：

设有两个图G=(V，E)，和G^’=(V^’，E^’)，若V^’是V的子集，且E^’是E的子集，则称G^’是G的子图。

若有满足V(G^’)=V(G)的子图G^’，则称其为G的生成子图。

其实生成子图就是顶点不能少，一个都不能少。而且子图首先得是个图，如果不是图那也不是子图。

无向图中的极大连通子图称为连通分量。

这句话，什么是极大连通子图？就是图中最大的连通子图，不能被包含在更大的连通子图中。在连通图中，整个图即为一个极大连通子图；在不连通图中，极大连通子图对应各个独立的连通分量。

有向图中的极大强连通子图称为强连通分量。

同理，只不过多了个强，它以后再也不用要强了，因为它的强来了。

连通图的生成树是包含图中全部顶点的一个极小连通子图。

注意，这里说的是连通图，也就是无向图！！！

这个极小连通子图的极小是啥意思呢?意思就是说边要尽可能地小，但要保持连通。那又回到我们之前说的，边尽可能地小的话，又要让它保持连通，我们怎么说来着？最少会有n-1条边（因为再少就不连通了）。但是要知道，一个图可能不止有一个生成树，上个图：

若图中顶点数为n，则它的生成树含有n-1条边。对生成树而言，若砍去它的一条边，则会变成非连通图，若加上一条边则会形成一条回路。

在非连通图中，连通分量的生成树构成了非连通图的生成森林。

上个图就明白了：

• 边的权——在一个图中，每条边都可以标上具有某种含义的数值，该数值称为该边的权值；

• 带权图/网——边上带有权值的图称为带权图，也称网；

• 带权路径长度——当图是带权图时，一条路经上所有边的权值之和，称为该路径的带权路径长度。

这个边的权值其实就是给各边赋予一个实际的意义。

二、几种特殊的图

1.完全图

无向完全图——无向图中任意两个顶点之间都存在边

若无向图的顶点数|V|=n，则 |E|∈[0，C²_n] = [0，n(n-1)/2]

有向完全图——有向图中任意两个顶点之间都存在方向相反的两条弧

若有向图的顶点数|V|=n，则 |E|∈[0，2C²_n] = [0，n(n-1)]

也不知道有什么意义，反正图很丑，不信看看：

2.稠密图、稀疏图

就字面意思，边数很少的图称为稀疏图，反之就是稠密图。

也没有绝对的界限，一般来说|E|<|V|log|V|时，可以将G视为稀疏图。这个不用记，就了解一下。

3.树、有向树

树呢该怎么和图联系一下？树其实就是一个不存在回路，而且连通的无向图，把树横过来啥的不就是我们平常看到的图的样子了吗。

n个顶点的树，必有n-1条边。

想想也是了，每个结点都有双亲结点，但是根节点没有，所以必有n-1条边。

这个“n-1”是不是有点眼熟，什么来着？我们之前说过，如果要想让一个图连通，那么最少是n-1条边是吧。那其实也可以反之，如果有个n个顶点的图，若|E|＞n-1，则一定有回路。

有向树——一个顶点的入度为0，其余顶点的入度均为1的有向图，称为有向树。

（就是本来不直接连孩子吗，现在连孩子的那个线都有个箭头指向孩子。）

三、常见考点

对于n个顶点的无向图G：

• 所有顶点的度之和=2|E|

• 若G是连通图，则最少有n-1条边（树），若|E|＞n-1，则一定有回路

• 若G是非连通图，则最多可能有C²_n-1条边

• 无向完全图共有C²_n条边

对于n个顶点的有向图G：

• 所有顶点的入度之和=所有顶点的入度之和=|E|

• 所有顶点的度之和=2|E|

• 若G是强连通图，则最少有n条边（形成回路）

• 无向完全图共有2C²_n条边

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总结

就是说了一下图的一些常用的概念，这些概念在之后也会用到。要注意的就是连通图最少n-1条边，非连通图最多C²_n-1条边，这些都是无向图。有向图的话强连通图最少有n条边，是一条回路。