1.有重复元素全排列的计数问题(部分正确
【考察知识点】有重复元素的全排列的计数
【题目描述】
共有n个小球（1<=n<=20），这n个小球有k种颜色（1<=k<=10），白色s1个，红色s2个，……，蓝色sk个，即n=s1+s2+…+sk
现在将这n个小球进行排列，有多少种排列方式？
例如，有4个小球，其中2个白色，2个红色，则有以下6种排列：
白白红红
白红白红
白红红白
红白白红
红白红白
红红白白
【输入格式】
第一行，测试数据的组数，可输入多组测试数据，每一组测试数据都包含下面两行。
每组测试数据的第一行，n和k。n和k的描述和范围见前文描述。
每组测试数据的第二行，共k个数，s1、s2、…、sk。见前文描述。
【输出格式】
共有多少种排列方式数。
【输入样例】
4 //表示4组测试数据
4 2 //第1组
2 2
5 3 //第2组
1 2 2
6 3 //第3组
2 2 2
10 4 //第4组
2 3 3 2
【输出样例】
(Test 1) Full permutations with repeating elements: 6
(Test 2) Full permutations with repeating elements: 30
(Test 3) Full permutations with repeating elements: 90
(Test 4) Full permutations with repeating elements: 25200
【样例程序】
#include "stdio.h"
#include <iostream>
#include "stdlib.h"
using namespace std;//求阶乘
long long fact(int n)
{long long f=1;//2scorefor(int i=n; i>=1; i--)f*=i; //累乘 3 scorereturn f;
}int main()
{int T ,t , n, k, s[11];cin >> T;t=T;while(T--) //T为测试数据的组数，有几组{cin >> n >> k;for(int i=1;i<=k;i++) cin>>s[i];long long p=fact(n);for(int i=1;i<=k;i++) divisor*=fact(s[i]);//3 scorecout<<"(Test "<<t-T<<") "<<"Full permutations with repeating elements: "<< p <<endl;}return 0;
}2.找零钱
【考察知识点】动态规划算法
【题目描述】
设有n种不同面值的钱币各若干张，可用这n种钱币产生许多不同的币值。
有零钱：{1元×3张，2元×3张，5元×1张}，若要找回7元，有如下4种方案：
（1）3张1元 + 2张2元
（2）1张1元 + 3张2元
（3）2张1元 + 1张5元
（4）1张2元 + 1张5元
这4种方案中，最少张数的方案为上面第（4）种方案，仅需2张。
你的任务：给定币值m和n种不同面值钱币及其张数，求要找回币值m最少要多少张。
【输入格式】
多组测试数据的形式。
第1行先输入有多少组测试数据，然后后续每组测试数据连续输入。
每组中的第1行有1个正整数n(1<=n<50)，表示有n种不同的钱币。
每组中的第2行有n个正整数，分别表示每种钱币的面值v[1]...v[n](0<=v[i]<=100, 1<=i<=n)。
每组中的第3行有n个正整数，分别表示每种钱币的张数k[1]...k[n] (0<=k[i]<=100, 1<=i<=n)。
每组中的第4行有1个正整数，表示给定需要找回的钱币值m (1<=m<=20000)。
【输出格式】
每组结果连续输出，每组输出占一行。
计算出给定币值所需的最少张数。
若无法给出找钱方案，返回“no possible”(注意：无大写且无标点)。
【输入样例】
1 （表示下面仅一组数据）
3
1 2 5
3 3 1
7
【输出样例】
2
#include <iostream>
#include "stdio.h"
#include "stdlib.h"
using namespace std;
#define MAX 100000int c[51][20001];int solve(int n, int *v, int *k, int m)
{int min=0x7fffffff,w,t;for(int i=0;i<=n;i++)c[i][0]=0;for(int j=0;j<=m;j++){//c[ ][ ]第一行的填写if(j%v[1]==0 && j/v[1]<=k[1])c[1][j]=
j/v[1]
;else c[1][j]=MAX;}//c[ ][ ]后续行的填写for(int i=2;i<=n;i++)for(int j=1;j<=m;j++){t = (int)(j/v[i])>k[i]? k[i] : (int)(j/v[i]);min=c[i-1][j];for(int s=1;s<=
t
;s++){if(j>=s*v[i])w=
c[i-1][j - s * v[i]] + s
;elsew=MAX;if(w<min) min=w;}c[i][j]=min;}return
c[n][m]
; //返回哪个数组元素？
}int main()
{int n;int v[51],k[51];int m;int T;scanf("%d", &T); //共T组测试数据while(T--) { //逐组处理cin>>n;for(int i=1;i<=n;i++) cin>>v[i];for(int i=1;i<=n;i++) cin>>k[i];cin>>m;int q=solve(n,v,k,m);if(q!=MAX)cout<<q<<endl;elsecout<<"no possible"<<endl;}return 0;
}3.树状数组
【考察知识点】树状数组
【题目描述】
用树状数组高效实现区间求和操作。
注：本题要求用树状数组（即程序中的c[]）做区间求和，修改元素（addv函数）和前缀和求和（getSum函数）的时间复杂度都为O(logn)。用树状数组这一数据结构，比常规循环做前缀和要快的多。
【输入格式】
第1行先输入正整数n，表示数据元素的个数。元素个数n不超过100000。
第2行有n个整数，分别表示a[1]...a[n]的数值。
第3行有2个正整数，分别表示询问区间的左右边界。
【输出格式】
求询问区间的区间元素和。如样例数据中a[3]+a[4]+...+a[8]的和为33。
【输入样例】
10
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
3 8
【输出样例】
33
【样例程序】
#include <iostream>
#include <string.h>
#include "stdio.h"
#include "stdlib.h"
using namespace std;int a[100001]; //输入数据
int c[100001]; //树状数组存储空间int n; //有效数据个数//此函数为x二进制表达中最右边1与后面的全0（如果有的话），构成的数值。
//比如若x=12，二进制为1100，则lowbit(12)返回为4，二进制为100
int lowbit(int x)
{return x&(-x);
}//这个函数求a[1]+...+a[x]的和。指的是从1下标过来到下标x的元素和（称为前缀和）
int getSum(int x)
{int ans = 0;while(x > 0){ans +=
c[x]
;x -=
lowbit(x)
;}return ans;
}//这个函数为a[x]做增值修改，即a[x]=a[x]+value后，树状数组c[ ]也随之做了相应的修改
void addv(int x, int value)
{a[x] += value;while(x <= n){c[x] +=
value
;x +=
lowbit(x)
;}
}int main()
{scanf("%d", &n);memset(a, 0, sizeof(a));memset(c, 0, sizeof(c));for(int v, i = 1; i <= n; i++) {scanf("%d", &v);addv(i, v); //把输入值加到a[i]中，同时建立树状数组c[ ]}int l, r;scanf("%d%d", &l, &r); //输入要获得区间和的区间左和右边界int ans=0; //不合法输入都为0if (l>=1 && r<=n)if(l>1)ans = getSum(r)-getSum(l-1); //当左边界l>=2时，返回前缀和之差：即sum(r)-sum(l-1);elseans = getSum(r); //当左边界l为1时，直接返回到r的前缀和(即sum(r)=a[1]+...+a[r])else {printf("Illegal data interval!");}printf("%d", ans);return 0;
}
4.亲戚关系
【考察知识点】并查集
【题目描述】
有亲戚关系的，可视为一个家族内。某些庞大的家族可能人数众多，要判断两个人是否是亲戚，确实还很不容易。
现在给出某个亲戚关系图，询问任意给出的两个人是否具有亲戚关系。
规定：x和y是亲戚，y和z是亲戚，那么x和z也是亲戚。如果x,y是亲戚，那么x的亲戚都是y的亲戚，y的亲戚也都是x的亲戚。
【输入格式】
第一行：三个整数n, m, p，（范围：1<=n,m,p<=5000），分别表示有n个人，共列出m个亲戚关系，共询问p对人之间是否存在亲戚关系。
以下m行：每行两个数Mi, Mj（1<=Mi,Mj<=n），表示Mi 和Mj 具有亲戚关系，有m行这样的亲戚关系构成了家族图。
接下来p行：每行两个数Pi, Pj（1<=Pi,Pj<=n），询问Pi 和Pj 是否具有亲戚关系，有p次这样的询问。
【输出格式】
p行，每行一个’Yes’或’No’。表示第i个（1<=i<=p）的答案为“具有”或“不具有”亲戚关系。
这其实是一个很有现实意义的问题。我们可以建立并查集模型，把所有人划分到若干个不相交的集合中，每个集合里的人彼此是亲戚。为了判断两个人是否为亲戚，只需看它们是否属于同一个集合即可。因此，考虑用并查集进行维护所有的亲戚关系。
【输入样例】
11 7 8
1 3
2 3
5 6
9 10
5 10
4 9
8 11
1 3
2 8
6 8
3 9
4 6
5 9
4 5
9 11
【输出样例】
Yes
No
No
No
Yes
Yes
Yes
No
【样例程序】
#include <iostream>
#include "stdio.h"
#include "stdlib.h"
using namespace std;#define MAXN 5001//fa[i]记录i元素所属的集合代表元素
int fa[MAXN];
//rankhigh[]数组记录每个根节点对应的深度，如果它不是根节点，其rank值相当于以它作为根节点的子树的深度
int rankhigh[MAXN];void init(int n)
{for (int i = 1; i <= n; ++i){fa[i] =
i
; //初始化时，所有元素的代表元素为自己本身rankhigh[i] = 1; //初始化时，所有元素的秩为1}
}//查找x属于哪个集合，返回这个集合的根代表
int find(int x)
{if(fa[x] != x)fa[x] =
find(fa[x])
; //查找x的fa[x]是谁？再继续递归地查找fa[fa[x]]又是谁？……//找完返回时，还顺便做个赋值，即路径压缩return fa[x];
}//将i和j所在的集合进行合并
void merge(int i, int j)
{int x = find(i), y = find(j);//合并时比较两个根节点，把rank较小者往较大者上合并，可以不增加树高度if (rankhigh[x] <= rankhigh[y])fa[x] =
y
;elsefa[y] =
x
;//如果深度相同且根节点不同，则新的根节点的深度+1if (rankhigh[x] == rankhigh[y] && x != y)rankhigh[y]++;
}int main()
{int n, m, p, x, y;cin>>n>>m>>p; //n个人，m个亲戚关系，p个询问亲戚关系init(n);for (int i = 0; i < m; ++i) //m行，把具有亲戚关系的x和y给merge( )到一个家族中{cin>>x>>y;merge(x, y);}for (int i = 0; i < p; ++i) //p个询问，若x和y是亲戚关系，则显示“Yes”，否则“No”{cin>>x>>y;if(find(x) == find(y))cout<<"Yes\n";elsecout<<"No\n";}return 0;
}5.两条线段的相交问题
【考察知识点】几何问题中的线段相交
【问题描述】
已知两条线段，线段端点由输入确定，先判定这两条线段的位置关系，存在如下五种关系：
0：两条线段无交点，不交叉或无公共点；
1：两条线段规范相交；
（此处先解释一下，何谓“规范相交”？ 规范相交规定为：两线段恰好有一个公共交点，且公共点不是任何线段的任何一个端点，也就是说，每条线段的两个端点都在另一条线段的两侧，我们可用叉积的异号来判断点是否在线段的两侧）
2：线段的某个端点在另一条线段上（不是另一条线段的端点，只是另一条线段中的某点）；
3：线段有唯一一个公共端点；
4：两条线段共线且有无数交点。
【输入格式】
先输入测试数据共有多少组。
每组分别输入两个线段的端点坐标（浮点型）：
a1.x a1.y a2.x a2.y
b1.x b1.y b2.x b2.y
【输出格式】
每组数据的结果按顺序输出。每组中，请输出两个线段的位置关系（用0~4数字表示情况）。如果是情况1，还需输出交叉的交点（保留2位小数形式）。其它情况无需输出交点。
【输入样例】
5 //共5组数据
0 0 1 1 //第1组
2 0 4 -1
0 0 3 3 //第2组
0 2 4 -1
0 0 3 3 //第3组
1.6 1.6 4 -1
0 0 3 3 //第4组
3 3 4 -1
0 0 3 3 //第5组
1.2 1.2 5 5
【输出样例】
relation 0:
The two line segments: not intersect.
relation1:
The two line segments: proper intersect.
1.14 1.14
relation 2:
The two line segments: a end point is on the other segment.
relation 3:
The two line segments: a common point.
relation 4:
The two line segments: collinear.
【样例解释】
【样例程序】
#include "stdio.h"
#include <iostream>
#include "stdlib.h"
#include <cmath>using namespace std;//定义点
struct Point{double x;double y;Point(double x=0, double y=0):x(x), y(y) { }//构造函数，方便给x和y值的代码编写
};//定义向量，向量和点的表示形式一样，但几何意义不同
typedef Point Vector;// 向量+向量=向量，或者，向量+点=向量
Vector operator + (Vector A, Vector B) {return Vector(A.x+B.x, A.y+B.y);}// 点-点=向量
Vector operator - (Point A, Point B) {return Vector(A.x-B.x, A.y-B.y);}// 向量*数=向量，参数顺序：向量*浮点数，或浮点数*向量，两种参数顺序皆可乘
Vector operator * (Vector A, double p) {return Vector(A.x*p, A.y*p);}
Vector operator * (double p, Vector A) {return Vector(A.x*p, A.y*p);}// 向量/数=向量
Vector operator / (Vector A, double p) {return Vector(A.x/p, A.y/p);}//对double型的数，如何比较大于0，等于0，或小于0
const double EPS =1e-10;
int dcmp(double x)
{if (fabs(x)<EPS) return 0;else return x<0? -1 : 1;
}//点积
double Dot(Vector A, Vector B) {return A.x*B.x + A.y*B.y;}
double Length(Vector A) {return sqrt(Dot(A,A));}//叉积
double Cross(Vector A, Vector B) {return A.x*B.y - A.y*B.x;}//判断p点是否在线段a1a2上，返回true的情况并不包括p恰好是线段端点（这种情况是返回false的）
int ontheSegment(Point p, Point a1, Point a2)
{return dcmp(Cross(a1-p, a2-p))==0 && dcmp(Dot(a1-p, a2-p))<0;
}//定义五种位置关系的编号
const int NO_CROSSING_POINT = 0;
const int PROPER_INTERSECTION = 1;
const int ONE_POINT_ON_SEGMENT = 2;
const int COMMON_POINT = 3;
const int COLLINEAR = 4;//判断两条线段的位置关系，是否“规范相交”
//规范相交定义为：两线段恰好有一个公共点，且公共点不是任何一条线段的端点
//判断是否规范相交，要做这样一个“跨立实验”的判断：每条线段的两个端点都在另一条线段的两侧
//“两侧”，可以用叉积的符号来判断
int judgeSegmentIntesection(Point a1, Point a2, Point b1, Point b2)
{//分别计算如下的c1、c2、c3、c4double c1=Cross(a2-a1,b1-a1);double c2=Cross(a2-a1,b2-a1);double c3=Cross(b2-b1,a1-b1);double c4=Cross(b2-b1,a2-b1);//线段a1a2和线段b1b2共线if(dcmp(c1)==0 && dcmp(c2)==0)return COLLINEAR;//有一个端点搭在另一条线段上，或共端点的情况if( ontheSegment(a1,b1,b2) || ontheSegment(a2,b1,b2) || ontheSegment(b1,a1,a2) || ontheSegment(b2,a1,a2))return ONE_POINT_ON_SEGMENT;elseif((dcmp(c1)==0 && dcmp(c2) !=0) || (dcmp(c1)!=0 && dcmp(c2)==0) || (dcmp(c3)==0 && dcmp(c4)!=0) || (dcmp(c3)!=0 && dcmp(c4)==0))return ;//规范相交：c1和c2异号（点b1和点b2在线段a1a2的两侧），且c3和c4也异号（点a1和点a2在线段b1b2的两侧）if( dcmp(c1)*dcmp(c2)<0 && )return PROPER_INTERSECTION;elsereturn NO_CROSSING_POINT;
}//计算直线交点的坐标
Point GetSegmentIntersection(Point P, Vector v, Point Q, Vector w)
{Vector u=P-Q;double t = Cross(w,u)/Cross(v,w);return P+v*t;
}int main()
{Point a1,a2,b1,b2;int T;cin>>T; //T为测试数据的组数，共T组while(T--) {cin>>a1.x>>a1.y>>a2.x>>a2.y; //输入线段的两个端点，即线段a1a2cin>>b1.x>>b1.y>>b2.x>>b2.y; //输入线段的两个端点，即线段b1b2//先判断两条线段的位置关系int cas=judgeSegmentIntesection(a1, a2, b1, b2);cout<<"relation "<<cas<<":"<<endl;switch (cas){case NO_CROSSING_POINT:cout<<"The two line segments: not intersect."<<endl; break;case PROPER_INTERSECTION:cout<<"The two line segments: proper intersect."<<endl; break;case ONE_POINT_ON_SEGMENT:cout<<"The two line segments: a end point is on the other segment."<<endl; break;case COMMON_POINT:cout<<"The two line segments: a common point."<<endl; break;case COLLINEAR:cout<<"The two line segments: collinear."<<endl; break;default:cout<<"error!"<<endl;}Point segmIntsectPoint;if (cas==PROPER_INTERSECTION) //若规范相交，则计算交点坐标{segmIntsectPoint=GetSegmentIntersection(a1, , b1, b2-b1);printf("%.2f %.2f\n", segmIntsectPoint.x, );}}return 0;
}
部分正确