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01 常见离散型分布及其概率分布、期望和方差公式

1. 伯努利分布

   • 概率分布：
   • 期望： E(X)=p
   • 方差：D(X)=p(1−p)

2. 二项分布

   • 概率分布：
   • 期望：E(X)=np
   • 方差： D(X)=np(1−p) 
   • 表示方法：X∼B(n,p) 

3. 泊松分布

   • 概率分布：
   • 期望：E(X)=λ
   • 方差： D(X)=λ
   • 表示方法：X∼P(λ)

4. 几何分布

   • 概率分布：
   • 期望： 
   • 方差：

5. 超几何分布

   • 概率分布：
   • 期望：
   • 方差： 
   • 表示方法：X∼h(n,N,M)

6.  单点分布

   • 概率分布：P{x=a} = 1

分布名称	概率分布	期望公式	方差公式
0-1分布	P(X = 1) = p, P(X = 0) = q (q = 1 - p)	E(X) = p	Var(X) = pq
二项分布	P(X = k) = C(n, k) * p^k * q^(n-k) (k = 0, 1,..., n)	E(X) = np	Var(X) = npq
泊松分布	P(X = k) = (λ^k * e^(-λ)) / k! (k = 0, 1, 2,...)	E(X) = λ	Var(X) = λ
几何分布	P(X = k) = q^(k-1) * p (k = 1, 2, 3,...)	E(X) = 1/p	Var(X) = (1-p)/p^2
超几何分布	P(X = k) = (C(M, k) * C(N-M, n-k)) / C(N, n) (k = 0, 1,..., min(M, n))	E(X) = (nM)/N	Var(X) = (nM(N-M)(N-n))/(N^2(N-1))

02 常见的连续型分布包括以下几种：

1. 均匀分布

   • 概率密度函数： 
   • 期望： 
   • 方差： 

2. 正态分布

   • 概率密度函数：
   • 期望：E(X)=μ
   • 方差： Var(X)=σ^2
   • 标准化公式为：
   • 表示方法：N(μ,σ^2)

3. 指数分布

   • 概率密度函数： f(x)=λexp(−λx) ，其中 x≥0
   • 期望： E(X)=1​/λ
   • 方差： Var(X)=1​/λ^2
     

4. 伽马分布

   • 概率密度函数：
   • 期望：E(X)=α​/λ
   • 方差： Var(X)=α​/λ^2

5. 贝塔分布

   • 概率密度函数： 
   • 期望： E(X)=a​/(a+b)
   • 方差： 

6. 卡方分布

   • 概率密度函数：
   • 期望： E(X)=k
   • 方差： Var(X)=2k
7. 柯西分布
   • 概率密度函数：
   • 期望：不存在
   • 方差：不存在

8. 对数正态分布

   • 概率密度函数：
   • 期望：
   • 方差： 

9. 韦布尔分布

   • 概率密度函数：
   • 期望：
   • 方差： 

分布名称	概率密度函数	表示方法	期望	方差
正态分布		N(μ,σ^2)	μ
均匀分布		U(a,b)
指数分布		Exp(λ)
伽玛分布		Γ(r,λ)
贝塔分布		B(α,β)
对数正态分布		LN(μ,σ^2)
韦布尔分布		W(k,λ)