正交活动标架的运动方程
设 S : r ( u , v ) , ( u , v ) ∈ D S:r(u,v),(u,v)\in D S:r(u,v),(u,v)∈D是曲面， { r : r u , r v , n } \{r:r_u,r_v,n\} {r:ru,rv,n}是自然标架。
由Gram-Schmidt E交化，取 e 1 = r u ∣ r u ∣ , e 2 = r v − ⟨ r v , e 1 ⟩ e 1 ∣ r v − ⟨ r v , e 1 ⟩ e 1 ∣ e_1=\frac{r_u}{|r_u|},e_2=\frac{r_v-\langle r_v,e_1\rangle e_1}{|r_v-\langle r_v,e_1\rangle e_1|} e1=∣ru∣ru,e2=∣rv−⟨rv,e1⟩e1∣rv−⟨rv,e1⟩e1,则 e 1 , e 2 e_1,e_2 e1,e2 是切空间中的单位正交向量，并且 e 3 = e 1 × e 2 = n e_3=e_1\times e_2=n e3=e1×e2=n。
这样 { r ; e 1 , e 2 , e 3 } \{r;e_1,e_2,e_3\} {r;e1,e2,e3}就是 S S S的一个正交活动标架。
一般地，任给曲面的正交活动标架 { r ; e 1 , e 2 , e 3 } \{r;e_1,e_2,e_3\} {r;e1,e2,e3},并且要求 e 1 , e 2 e_1,e_2 e1,e2落在切空间中，这时 e 3 = ± n e_3=\pm n e3=±n。
则存在二阶可逆方阵 A = ( a i j ) A=(a_{ij}) A=(aij)使得
( r u r v ) = A ( e 1 e 2 ) ⇒ d r = ( d u , d v ) ( r u r v ) = ( d u , d v ) A ( e 1 e 2 ) \begin{pmatrix}r_u\\r_v\end{pmatrix}=A\begin{pmatrix}e_1\\e_2\end{pmatrix}\Rightarrow dr=(du,dv)\begin{pmatrix}r_u\\r_v\end{pmatrix}=(du,dv)A\begin{pmatrix}e_1\\e_2\end{pmatrix} (rurv)=A(e1e2)⇒dr=(du,dv)(rurv)=(du,dv)A(e1e2)
记 ( w 1 , w 2 ) = ( d u , d v ) A (w_1,w_2)=(du,dv)A (w1,w2)=(du,dv)A,则 d r = w 1 e 1 + w 2 e 2 dr=w_1e_1+w_2e_2 dr=w1e1+w2e2,其中 w i w_i wi是一阶微分形式。
从而第一基本形为 I = ⟨ d r , d r ⟩ = w 1 w 1 + w 2 w 2 . \mathcal{I}=\langle dr,dr\rangle=w_1w_1+w_2w_2. I=⟨dr,dr⟩=w1w1+w2w2.
接下来，设 d e i = ∑ j = 1 3 w i j e j de_i=\sum_{j=1}^3w_{ij}e_j dei=∑j=13wijej,其中 w i j w_{ij} wij 都是一阶微分形式(向量值函数的微分是指关于每个分量微分),其中 w 12 w_{12} w12 地位很重要，称为联络形式。
由于 ⟨ e i , e j ⟩ = δ i j \langle e_i,e_j\rangle=\delta_{ij} ⟨ei,ej⟩=δij,微分得到 w i j = − w j i w_{ij}=-w_{ji} wij=−wji,即系数矩阵 ( w i j ) (w_{ij}) (wij) 反对称，从而 w i i = 0 w_{ii}=0 wii=0。当 e 3 = n e_3=n e3=n 时，第二基本形 II = ⟨ d r , − d e 3 ⟩ = w 1 w 13 + w 2 w 23 =\langle dr,-de_3\rangle=w_1w_{13}+w_2w_{23} =⟨dr,−de3⟩=w1w13+w2w23 。
于是有正交活动标架的运动方程
{ d r = w 1 e 1 + w 2 e 2 d e 1 = w 12 e 2 + w 13 e 3 d e 2 = w 21 e 1 + w 13 e 3 d e 3 = w 31 e 1 + w 32 e 2 \begin{cases}dr=w_1e_1+w_2e_2\\de_1=w_{12}e_2+w_{13}e_3\\de_2=w_{21}e_1+w_{13}e_3\\de_3=w_{31}e_1+w_{32}e_2&\end{cases} ⎩ ⎨ ⎧dr=w1e1+w2e2de1=w12e2+w13e3de2=w21e1+w13e3de3=w31e1+w32e2
其中 w i j = − w j i w_{ij}=-w_{ji} wij=−wji。
第一基本形为 I = ⟨ d r , d r ⟩ = w 1 w 1 + w 2 w 2 {I}=\langle dr,dr\rangle=w_1w_1+w_2w_2 I=⟨dr,dr⟩=w1w1+w2w2。当 e 3 = n e_3=n e3=n 时，第二基本形 II = ⟨ d r , − d e 3 ⟩ = w 1 w 13 + w 2 w 23 =\langle dr,-de_3\rangle=w_1w_{13}+w_2w_{23} =⟨dr,−de3⟩=w1w13+w2w23 。