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多元回归（Multiple Regression）是一种统计学方法，用于建立一个因变量（响应变量）与多个自变量（解释变量）之间的关系。多元回归的目的是通过最小化预测误差来找到最佳的拟合模型，从而可以用来预测因变量的值或理解自变量与因变量之间的关系。

多元回归就像线性回归一样，但是具有多个独立值，这意味着我们试图基于两个或多个变量来预测一个值。

多元回归的基本形式可以表示为：

其中：

• yy 是因变量。
• x1,x2,…,xnx1​,x2​,…,xn​ 是自变量。
• β0β0​ 是截距项（intercept）。
• β1,β2,…,βnβ1​,β2​,…,βn​ 是回归系数（regression coefficients）。
• ϵϵ 是误差项（error term），表示模型无法解释的随机误差。

例子：一组数据集，其中包含了一些有关汽车的信息。 

Car	Model	Volume	Weight	CO2
Toyota	Aygo	1000	790	99
Mitsubishi	Space Star	1200	1160	95
Skoda	Citigo	1000	929	95
Fiat	500	900	865	90
Mini	Cooper	1500	1140	105
VW	Up!	1000	929	105
Skoda	Fabia	1400	1109	90
Mercedes	A-Class	1500	1365	92
Ford	Fiesta	1500	1112	98
Audi	A1	1600	1150	99
Hyundai	I20	1100	980	99
Suzuki	Swift	1300	990	101
Ford	Fiesta	1000	1112	99
Honda	Civic	1600	1252	94
Hundai	I30	1600	1326	97
Opel	Astra	1600	1330	97
BMW	1	1600	1365	99
Mazda	3	2200	1280	104
Skoda	Rapid	1600	1119	104
Ford	Focus	2000	1328	105
Ford	Mondeo	1600	1584	94
Opel	Insignia	2000	1428	99
Mercedes	C-Class	2100	1365	99
Skoda	Octavia	1600	1415	99
Volvo	S60	2000	1415	99
Mercedes	CLA	1500	1465	102
Audi	A4	2000	1490	104
Audi	A6	2000	1725	114
Volvo	V70	1600	1523	109
BMW	5	2000	1705	114
Mercedes	E-Class	2100	1605	115
Volvo	XC70	2000	1746	117
Ford	B-Max	1600	1235	104
BMW	2	1600	1390	108
Opel	Zafira	1600	1405	109
Mercedes	SLK	2500	1395	120

 可以根据发动机排量的大小预测汽车的二氧化碳排放量，但是通过多元回归，我们可以引入更多变量，例如汽车的重量，以使预测更加准确。

在 Python 中，我们拥有可以完成这项工作的模块。

// 导入 Pandas、sklearn 模块
import pandas
from sklearn import linear_model// 读取 csv 文件并返回一个 DataFrame 对象。
df = pandas.read_csv("cars.csv")// 列出独立值，并将这个变量命名为 X。
// 将相关值放入名为 y 的变量中。
X = df[['Weight', 'Volume']]
y = df['CO2']// 使用 LinearRegression() 方法创建一个线性回归对象。
// 该对象有一个名为 fit() 的方法，该方法将独立值和从属值作为参数，并用描述这种关系的数据填充回归对象：
regr = linear_model.LinearRegression()
regr.fit(X, y)// 我们有了一个回归对象，可以根据汽车的重量和排量预测 CO2 值：
# 预测重量为 2300kg、排量为 1300ccm 的汽车的二氧化碳排放量：predictedCO2 = regr.predict([[2300, 1300]])print(predictedCO2)

输出结果：[107.2087328]

根据此数据可以预测：配备 1.3 升发动机，重量为 2300 千克的汽车，每行驶 1 公里，就会释放约 107 克二氧化碳。

系数

系数是描述与未知变量的关系的因子。

例如：如果 x 是变量，则 3x 是 x 的两倍。x 是未知变量，数字 3 是系数。

在这种情况下，我们可以要求重量相对于 CO2 的系数值，以及体积相对于 CO2 的系数值。我们得到的答案告诉我们，如果我们增加或减少其中一个独立值，将会发生什么。

打印回归对象的系数值： 

import pandas
from sklearn import linear_modeldf = pandas.read_csv("cars.csv")X = df[['Weight', 'Volume']]
y = df['CO2']regr = linear_model.LinearRegression()
regr.fit(X, y)print(regr.coef_)

结果：[0.00755095 0.00780526]

 结果数组表示重量和排量的系数值。

Weight: 0.00755095
Volume: 0.00780526

这些值告诉我们，如果重量增加 1g，则 CO2 排放量将增加 0.00755095g。

如果发动机尺寸（容积）增加 1 ccm，则 CO2 排放量将增加 0.00780526g。

我认为这是一个合理的猜测，但还是请进行测试！

我们已经预言过，如果一辆配备 1300ccm 发动机的汽车重 2300 千克，则二氧化碳排放量将约为 107 克。

如果我们增加 1000g 的重量会怎样？

 复制上面的例子，但是将车重从 2300 更改为 3300：

import pandas
from sklearn import linear_modeldf = pandas.read_csv("cars.csv")X = df[['Weight', 'Volume']]
y = df['CO2']regr = linear_model.LinearRegression()
regr.fit(X, y)predictedCO2 = regr.predict([[3300, 1300]])print(predictedCO2)

 结果：[114.75968007]

我们已经预测，配备 1.3 升发动机，重量为 3.3 吨的汽车，每行驶 1 公里，就会释放约 115 克二氧化碳。

这表明 0.00755095 的系数是正确的：

107.2087328 + (1000 * 0.00755095) = 114.75968

END.