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参数估计

参数估计是统计推断的一种，根据从总体中抽取的随机样本来估计总体分布中未知参数的过程；
参数估计又分为：点估计、区间估计；

点估计：用单个数值作为参数的估计，使用最多的包括最大似然估计和矩法；
区间估计：依据抽取的样本，根据一定的正确度与精确度要求，构造出适当的区间，作为总体分布的未知参数或参数函数的真值所在范围的估计。

通过一个例子看一下什么是参数估计：
已知一组数满足正态分布，反过来求解参数u和σ的过程称为参数估计。
例题
观测某型号20辆汽车消耗10L汽油的行驶里程数据如下：


59.6	55.2	56.6	55.8	60.2	57.4	59.8	56.0	55.8	57.4
56.8	54.4	59.0	57.0	56.0	60.0	58.2	59.6	59.2	53.8

假设行驶里程满足正态分布，用normfit函数求平均行驶里程的95%置信区间。

x= [59.6 55.2 56.6 55.8 60.2 57.4 59.8 56.0 55.8 57.4 56.8 54.4 59.0 57.0 56.0 56.0 59.6 59.2 53.8];
a=0.05;
[muhat,sigmahat,muci,sigmaci] = normfit(x,a);

常见分布的参数估计函数及其调用格式

分布	调用格式
正态分布	[muHat,sigmaHat,muCI,sigmaCI]=normfit(x,alpha)
正态对数似然函数	nlogL=normlike(params,x,censoring)
最大似然估计	phat=mle(data.‘distribution’,dist)
贝塔分布	[phat,pci]=betafit(data,alpha)
二项分布	[phat,pci]=binofit(x,n,alpha)
指数分布	[muhat,muci]=expfit(data,alpha)
泊松分布	[lambdahat,lambdaci]=poissfit(data)
均匀分布	[ahat,bhat,ACI,BCI]=unifit(data,alpha)
卡方分布	[phat,pci]=chisquarefit(data,df,alpha)

点估计：

点估计就是用单个数值作为参数的估计，目前使用最多的是最大似然估计法和矩法。在此介绍最大似然估计法。

最大似然估计(maximum likehood estimates):

在待估参数的可能取值范围内，挑选使似然函数值最大时对应的参数值为最大似然估计量。

MATLAB的最大似然估计函数为：

phat=mle(data)

利用data指定的样本，返回正态分布的最大似然估计；

phat mle(data,‘distribution’,dist)

指定分布类型为dist;

例题：
依然是上述油耗问题，假设行驶里程数据服从正态分布，用最大似然估计法估计总体的均值和方差

x= [59.6 55.2 56.6 55.8 60.2 57.4 59.8 56.0 55.8 57.4 56.8 54.4 59.0 57.0 56.0 56.0 59.6 59.2 53.8];
a=0.05;
phat=mle(x,'distribution','normal');
muhatmle=phat(1);%均值
sigma2hatmle=phat(2)^2;%方差

区间估计：

求参数的区间估计，首先求出该参数的点估计，然后构造一个含有该参数的随机变量，并根据一定的置信水平求该估计值的范围。

MATLAB中使用mle函数进行区间估计时的调用格式为：

phat=mle(data,‘distribution’,dist,‘Alpha’,alpha)

指定分布类型为dist

例题：
依然是油耗问题，假设行驶里程数据服从正态分布，求平均行驶里程的95%置信区间。

x= [59.6 55.2 56.6 55.8 60.2 57.4 59.8 56.0 55.8 57.4 56.8 54.4 59.0 57.0 56.0 56.0 59.6 59.2 53.8];
a=0.05;
[phat,phi]=mle(x,'distribution','normal','Alpha',a);
muhatmle=phat(1);%均值
sigma2hatmle=phat(2)^2;%方差%置信区间
muhatci=muhatmle+norminv(0.5-a/2)*sigma2hatmle/sqrt(length(x));
muhatci=muhatmle-norminv(0.5-a/2)*sigma2hatmle/sqrt(length(x));