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题目一：⼀维前缀和

1. 题⽬链接：https://www.nowcoder.com/share/jump/3971807151727244713106

2. 题⽬描述

3. 解法（前缀和）：

算法思路：

a. 先预处理出来⼀个「前缀和」数组：
⽤ dp[i] 表⽰： [1, i] 区间内所有元素的和，那么 dp[i - 1] ⾥⾯存的就是 [1, i - 1] 区间内所有元素的和，那么：可得递推公式： dp[i] = dp[i - 1] + arr[i] ；

b. 使⽤前缀和数组，「快速」求出「**某⼀个区间内」**所有元素的和：
当询问的区间是 [l, r] 时：区间内所有元素的和为： dp[r] - dp[l - 1] 。

代码

import java.util.Scanner;// 注意类名必须为 Main, 不要有任何 package xxx 信息 public class Main {public static void main(String[] args) {Scanner scan = new Scanner(System.in);int n = scan.nextInt();int q = scan.nextInt();// 为了防⽌溢出，⽤ long 类型的数组 int[] arr = new int[n + 1];long[] dp = new long[n + 1];for (int i = 1; i <= n; i++) { // 读数据 arr[i] = scan.nextInt();}for (int i = 1; i <= n; i++) { // 处理前缀和数组 dp[i] = dp[i - 1] + arr[i];}while (q > 0) {int l = scan.nextInt();int r = scan.nextInt();System.out.println(dp[r] - dp[l - 1]); // 使⽤前缀和数组 q--;}}
}

题目二：⼆维前缀和

1. 题⽬链接：【模板】⼆维前缀和
2. 题⽬描述
   

备注：读入数据可能很大，请注意读写时间。

3. 解法：

算法思路：

类⽐于⼀维数组的形式，如果我们能处理出来从 [0, 0] 位置到 [i, j] 位置这⽚区域内所有元素的累加和，就可以在 O(1)
的时间内，搞定矩阵内任意区域内所有元素的累加和。因此我们 接下来仅需完成两步即可： 第⼀步：搞出来前缀和矩阵
这⾥就要⽤到⼀维数组⾥⾯的拓展知识，我们要在矩阵的最上⾯和最左边添加上⼀⾏和⼀列 0，这样我们就可以省去⾮常多的边界条件的处理。
这样，我们填写前缀和矩阵数组的时候，下标直接从 1 开始，能⼤胆使⽤ i - 1 , j - 1 位置的值。

注意 dp 表与原数组 matrix 内的元素的映射关系：
i. 从 dp 表到 matrix 矩阵，横纵坐标减⼀；
ii. 从 matrix 矩阵到 dp 表，横纵坐标加⼀。

前缀和矩阵中 sum[i][j] 的含义，以及如何递推⼆维前缀和⽅程

a. sum[i][j] 的含义：

sum[i][j] 表⽰，从 [0, 0] 位置到 [i, j] 位置这段区域内，所有元素的累加和。对应 下图的红⾊区域：

b. 递推⽅程： 其实这个递推⽅程⾮常像我们⼩学做过求图形⾯积的题，我们可以将 [0, 0] 位置到 [i, j]

位置这段区域分解成下⾯的部分：

sum[i][j] = 红 + 蓝 + 绿 + ⻩，分析⼀下这四块区域：

i. ⻩⾊部分最简单，它就是数组中的 matrix[i - 1][j - 1] （注意坐标的映射关系）

ii. 单独的蓝不好求，因为它不是我们定义的状态表⽰中的区域，同理，单独的绿也是；

iii. 但是如果是红 + 蓝，正好是我们 dp 数组中 sum[i - 1][j] 的值，美滋滋；

iv. 同理，如果是红 + 绿，正好是我们 dp 数组中 sum[i][j - 1] 的值；

v. 如果把上⾯求的三个值加起来，那就是⻩ + 红 + 蓝 + 红 + 绿，发现多算了⼀部分红的⾯积， 因此再单独减去红的⾯积即可；

vi. 红的⾯积正好也是符合 dp 数组的定义的，即 sum[i - 1][j - 1] 综上所述，我们的递推⽅程就是：

sum[i][j]=sum[i - 1][j] + sum[i][j - 1] - sum[i - 1][j - 1]+matrix[i- 1][j - 1]

第⼆步：使⽤前缀和矩阵

题⽬的接⼝中提供的参数是原始矩阵的下标，为了避免下标映射错误，这⾥直接先把下标映射成

dp 表⾥⾯对应的下标： row1++, col1++, row2++, col2++
接下来分析如何使⽤这个前缀和矩阵，如下图（注意这⾥的 row 和 col 都处理过了，对应的正 是 sum 矩阵中的下标）：

对于左上⻆ (row1, col1) 、右下⻆ (row2, col2) 围成的区域，正好是红⾊的部分。因

此我们要求的就是红⾊部分的⾯积，继续分析⼏个区域：

i. ⻩⾊，能直接求出来，就是 sum[row1 - 1, col1 - 1] （为什么减⼀？因为要剔除 掉 row 这⼀⾏和 col
这⼀列）

ii. 绿⾊，直接求不好求，但是和⻩⾊拼起来，正好是 sum 表内 sum[row1 - 1][col2]的数据；

iii. 同理，蓝⾊不好求，但是 蓝 + ⻩ = sum[row2][col1 - 1] ；

iv. 再看看整个⾯积，好求嘛？⾮常好求，正好是 sum[row2][col2] ；

v. 那么，红⾊就 = 整个⾯积 - ⻩ - 绿 - 蓝，但是绿蓝不好求，我们可以这样减：整个⾯积 -（绿

• ⻩ ）-（蓝 + ⻩），这样相当于多减去了⼀个⻩，再加上即可 综上所述：红 = 整个⾯积 - （绿 + ⻩）- （蓝 + ⻩）+ ⻩，从⽽可得红⾊区域内的元素总和为：

sum[row2][col2] - sum[r ow2][col1 - 1] -sum[row1 - 1][col2] + sum[row1 -1][col1 - 1]

代码

import java.util.Scanner;// 注意类名必须为 Main, 不要有任何 package xxx 信息 public class Main {public static void main(String[] args) {Scanner in = new Scanner(System.in);int n = in.nextInt();int m = in.nextInt();int q = in.nextInt();int[][] arr = new int[n + 1][m + 1];long[][] dp = new long[n + 1][m + 1];// 读⼊数据 for(int i = 1; i <= n; i++)for(int j = 1; j <= m; j++)arr[i][j] = in.nextInt();// 前缀和for(int i = 1; i <= n; i++)for(int j = 1; j <= m; j++)dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1] - dp[i - 1][j - 1] + 
arr[i][j];while(q > 0){int x1 = in.nextInt(), y1 = in.nextInt(), x2 = in.nextInt(), y2 = 
in.nextInt();System.out.println(dp[x2][y2] - dp[x1 - 1][y2] - dp[x2][y1 - 1] + 
dp[x1 - 1][y1 - 1]);q--;}}}