自动控制——状态观测器
引言
在自动控制系统中，准确地了解系统的状态对实现高性能控制至关重要。然而，在许多实际应用中，我们无法直接测量系统的所有状态变量。这时，状态观测器（State Observer）就发挥了重要作用。状态观测器能够利用系统的输入输出数据估计未测量的状态变量，从而使得控制器能够基于这些估计的状态实现有效的控制。
状态观测器的本质
状态观测器本质上是一种替代控制系统中传感器的工具。观测器通过结合感知信号和控制系统的其他信息（如系统模型或已知参数），产生观测信号。与直接使用传感器测得的信号相比，这些观测到的信号通常更为精确、更为廉价，且更为可靠。
观测器通过综合测得的反馈信号与控制系统元部件（特别是被控对象）的信息，使得对被控对象的特性能够有更精确的认知。观测器不仅增强了传感器的输出，还为控制律提供了更为精确的反馈信号，这在控制系统的设计与应用中至关重要。
状态观测器的定义
状态观测器是一种动态系统，它通过系统的输入输出数据来估计系统的状态向量。假设我们有一个线性时不变系统，描述如下：
x ˙ ( t ) = A x ( t ) + B u ( t ) , y ( t ) = C x ( t ) , \begin{aligned} \dot{x}(t) &= A x(t) + B u(t), \\ y(t) &= C x(t), \end{aligned} x˙(t)y(t)=Ax(t)+Bu(t),=Cx(t),
其中， x ( t ) x(t) x(t) 是系统状态向量， u ( t ) u(t) u(t) 是输入向量， y ( t ) y(t) y(t) 是输出向量， A A A、 B B B、 C C C 分别是系统的状态矩阵、输入矩阵和输出矩阵。
状态观测器的目标是利用已知的 u ( t ) u(t) u(t) 和 y ( t ) y(t) y(t) 来估计 x ( t ) x(t) x(t)。通常构造如下形式的观测器：
x ^ ˙ ( t ) = A x ^ ( t ) + B u ( t ) + L ( y ( t ) − y ^ ( t ) ) , y ^ ( t ) = C x ^ ( t ) , \begin{aligned} \dot{\hat{x}}(t) &= A \hat{x}(t) + B u(t) + L (y(t) - \hat{y}(t)), \\ \hat{y}(t) &= C \hat{x}(t), \end{aligned} x^˙(t)y^(t)=Ax^(t)+Bu(t)+L(y(t)−y^(t)),=Cx^(t),
其中， x ^ ( t ) \hat{x}(t) x^(t) 是估计的状态向量， L L L 是观测器增益矩阵， y ^ ( t ) \hat{y}(t) y^(t) 是估计的输出。
状态观测器的设计
为了确保状态观测器能够正确估计系统的状态，观测器的设计至关重要。观测器增益矩阵 L L L 的选择直接影响估计误差 e ( t ) = x ( t ) − x ^ ( t ) e(t) = x(t) - \hat{x}(t) e(t)=x(t)−x^(t) 的收敛性。
假设系统是可观测的，状态估计误差的动态方程为：
e ˙ ( t ) = ( A − L C ) e ( t ) \dot{e}(t) = (A - LC)e(t) e˙(t)=(A−LC)e(t)
为了使误差 e ( t ) e(t) e(t) 收敛至零，我们希望矩阵 A − L C A - LC A−LC 是一个稳定矩阵。这意味着我们需要选择合适的 L L L 使得矩阵 A − L C A - LC A−LC 的特征值具有负实部。
Python代码实现
下面是使用Python实现状态观测器的一个简单例子。我们将利用Python中的控制系统库（control）来进行仿真。
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import control as ctrl
from matplotlib.font_manager import FontProperties
# 设置中文显示
font = FontProperties(fname=r"./CN/simsun.ttc", size=12) # 替换为你系统中的中文字体路径
plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimSun'] # 使用指定的中文字体
plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False # 解决负号显示问题# 定义系统矩阵
A = np.array([[1, 2], [0, -1]])
B = np.array([[0], [1]])
C = np.array([[1, 0]])# 设计观测器增益矩阵L
L = np.array([[2], [3]])# 构建系统
sys = ctrl.ss(A, B, C, 0)# 初始条件
x0 = np.array([[1], [1]]) # 将初始条件定义为列向量
x0_hat = np.array([[0], [0]]) # 初始状态估计# 定义时间
T = np.linspace(0, 10, 100)# 定义输入信号
U = np.zeros_like(T) # 输入为零# 仿真真实系统的响应
T, y = ctrl.forced_response(sys, T, U, X0=x0)# 仿真观测器
A_hat = A - L @ C
sys_hat = ctrl.ss(A_hat, np.hstack([B, L]), np.eye(2), 0)# 构造输入信号（真实输出加上输入信号）
U_hat = np.vstack([U, y])
T, x_hat = ctrl.forced_response(sys_hat, T, U_hat, X0=x0_hat)# 绘图
plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.plot(T, y, 'b', label="真实输出 $y$")
plt.plot(T, x_hat[0, :], 'r--', label="估计状态 $\hat{x}_1$")
plt.xlabel('时间')
plt.ylabel('状态/输出')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.title('状态观测器仿真')
plt.show()
在这个例子中，我们定义了一个简单的二阶系统，并设计了一个观测器来估计系统的状态。通过仿真可以看到，随着时间的推移，状态估计误差逐渐减小，观测器能够较好地估计系统的状态。
结论
状态观测器在控制系统中具有重要作用，尤其是在无法直接测量所有状态变量的情况下。通过合理设计观测器增益矩阵 L L L，可以确保状态观测器能够准确地估计系统的状态，从而辅助控制器实现高效的控制效果。
状态观测器不仅能够增强传感器的输出，还能通过综合反馈信号与系统内部信息来提供更为精确的反馈信号。这使得状态观测器不仅是传感器的替代品，更是控制系统中提高性能和可靠性的关键组件。
在实际工程应用中，状态观测器的设计通常需要考虑系统的可观测性、噪声影响以及实时性要求。在一些复杂系统中，可能需要使用扩展卡尔曼滤波器（EKF）等高级观测器来处理非线性和噪声问题。通过本文的介绍和代码示例，相信你对状态观测器的原理和实现有了初步了解，能够在实际项目中应用这一重要的控制工具。