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矩母函数（MGF）简介

矩母函数（Moment Generating Function，MGF）是概率统计中描述随机变量分布特征的重要工具。MGF的主要用途是通过导数来计算随机变量的矩（比如均值、方差等），同时它也能帮助确定随机变量的分布。

定义

对于随机变量 $X$，其矩母函数 $M_X(t)$ 定义为：

$$M_X(t)=\mathbb{E}[e^{tX}]={\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{tx}{f}_X(x)dx$$

• $t$ 是实数；
• $f_X(x)$ 是随机变量 $X$ 的概率密度函数（对于离散分布，积分换成求和）。

矩母函数在 $t=0$ 的值总是 1，即 $M_X(0)=1$。

性质

1. 矩的生成：随机变量的 $n$ 阶原点矩可由 $M_X(t)$ 的 $n$ 阶导数得到：
   $$\mathbb{E}[X^n]=M_X^{(n)}(0)$$
   即在 $t=0$ 处对 $t$ 求 $n$ 阶导数。

2. 分布唯一性：如果两个随机变量 $X$ 和 $Y$ 的矩母函数在某个区间内一致，则它们具有相同的分布。

3. 独立性：如果 $X$ 和 $Y$ 独立，则 $Z=X+Y$ 的矩母函数是 $X$ 和 $Y$ 的矩母函数的乘积：
   $$M_Z(t)=M_X(t)\cdot M_Y(t)$$

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例子：指数分布的矩母函数

1. 指数分布定义

假设随机变量 $X$ 遵循参数为 $\lambda >0$ 的指数分布，其概率密度函数为：
$$f_X(x)=\lambda e^{-\lambda x},x\ge 0$$

2. 矩母函数计算

根据矩母函数的定义：
$$M_X(t)=\mathbb{E}[e^{tX}]={\int }_0^{\infty }{e}^{tx}\cdot \lambda e^{-\lambda x}dx$$

合并指数项 $e^{tx}\cdot e^{-\lambda x}=e^{-(\lambda -t)x}$，得：
$$M_X(t)=\lambda {\int }_0^{\infty }{e}^{-(\lambda -t)x}dx$$

积分结果为：
$${\int }_0^{\infty }{e}^{-ax}dx=\frac{1}{a},a>0$$

因此，当 $t<\lambda$ 时：
$$M_X(t)=\frac{\lambda }{\lambda -t}$$

而当 $t\ge \lambda$ 时，积分发散，MGF 不存在。

3. 利用 MGF 计算均值和方差

• 均值：随机变量的均值是矩母函数的导数在 $t=0$ 处的值：
  $$\mathbb{E}[X]=M_X^{\prime }(0)$$
  对 $M_X(t)=\frac{\lambda }{\lambda -t}$ 求导：
  $$M_X^{\prime }(t)=\frac{\lambda }{(\lambda -t{)}^2}$$
  当 $t=0$ 时：
  $$M_X^{\prime }(0)=\frac{\lambda }{{\lambda }^2}=\frac{1}{\lambda }$$
  所以，均值 $\mathbb{E}[X]=\frac{1}{\lambda }$。

• 方差：随机变量的方差可以由 $\mathbb{E}[X^2]-(\mathbb{E}[X]{)}^2$ 得到，而 $\mathbb{E}[X^2]=M_X^{\prime \prime }(0)$。对 $M_X^{\prime }(t)$ 再求导：
  $$M_X^{\prime \prime }(t)=\frac{2\lambda }{(\lambda -t{)}^3}$$
  当 $t=0$ 时：
  $$M_X^{\prime \prime }(0)=\frac{2\lambda }{{\lambda }^3}=\frac{2}{{\lambda }^2}$$
  所以：
  $$\text{方差 }\text{Var}(X)=\mathbb{E}[X^2]-(\mathbb{E}[X]{)}^2=\frac{2}{{\lambda }^2}-{\left(\frac{1}{\lambda }\right)}^2=\frac{1}{{\lambda }^2}$$

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总结

矩母函数是分析随机变量特性的重要工具，其计算遵循积分定义。通过矩母函数，能有效推导随机变量的均值、方差及高阶矩等信息。在实际应用中，掌握如何从分布定义出发计算 MGF 是关键步骤。