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前言

在《如何利用矩阵化简平面上的二次型曲线》这篇文章中，我们介绍了如何利用转轴和移轴矩阵来化简平面上的二次型曲线，从而确定曲线的类型，形状和位置。一个很自然的问题是，我们是否有办法不通过转轴移轴，而是直接通过二次曲线方程的系数，来判断曲线的类型和形状。解决这个问题的思路是，如果我们能找到一些以二次曲线方程系数为变量的函数，这些函数在转轴和移轴下，函数值不变，那么我们就能通过这些函数确定变换前后曲线方程系数之间的关系，进而通过原方程的系数直接来判断曲线的类型和形状。本文将介绍这个方法。

(下文将沿用《如何利用矩阵化简平面上的二次型曲线》这篇文章中的记号和定义)

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二次曲线的不变量

沿着上面的思路，我们首先定义不变量：

$F(x,y)=a_{11}{x}^2+2a_{12}xy+a_{22}{y}^2+2a_{1}x+2a_{2}y+a_0=0$是平面上的一个二次曲线。设$f$是二次曲线方程系数$a_{11},a_{22},a_{12},a_1,a_2,a_0$的函数，若$f$在任意直角坐标变换下的函数值不变，则称$f$是二次曲线的（正交）不变量。

根据二次曲线的定义，我们接下来证明下面的命题：

对二次曲线$a_{11}{x}^2+2a_{12}xy+a_{22}{y}^2+2a_{1}x+2a_{2}y+a_0=0$，构造如下系数函数：
$$\begin{gathered} I_1=f_1(a_{11},a_{22})=a_{11}+a_{22}=\mathrm{tr}(\mathbf{\Omega }) \\ {I}_2=f_2(a_{11},a_{22},a_{12})=\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{12}& a_{22}\end{array}\right|=|\mathbf{\Omega }| \\ {I}_3=f_3(a_{11},a_{22},a_{12},a_1,a_2,a_0)=\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_1\\ a_{12}& a_{22}& a_2\\ a_1& a_2& a_0\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}\mathbf{\Omega }& \mathbf{\kappa }\\ {\mathbf{\kappa }}^{\mathrm{T}}& a_0\end{array}\right| \end{gathered}$$
则$I_1,I_2,I_3$都是二次曲线的不变量。

要证明上述命题，我们需要分两步进行，先证明它们是在转轴下的不变量，再证明它们在移轴下也是不变量。

转轴情况下的证明

根据《如何利用矩阵化简平面上的二次型曲线》这篇文章中的结论，对二次曲线做任意转轴

$$\begin{array}{c}\mathbf{\zeta }=\mathbf{T}{\mathbf{\zeta }}^{\prime }\end{array}$$

转轴后的曲线方程为：

$$\begin{array}{c}({{\mathbf{\zeta }}^{\prime }}^{\mathrm{T}},1)\left(\begin{array}{cc}{\mathbf{T}}^{\mathrm{T}}\mathbf{\Omega }\mathbf{T}& {\mathbf{T}}^{\mathrm{T}}\mathbf{\kappa }\\ {\mathbf{\kappa }}^{\mathrm{T}}\mathbf{T}& a_0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{\mathbf{\zeta }}^{\prime }\\ 1\end{array}\right)=0\end{array}$$

记转轴后的方程$(2)$的系数函数分别为$I_1^{\prime },I_2^{\prime },I_3^{\prime }$。$I_1^{\prime }$恰好是二次项系数矩阵${\mathbf{T}}^{\mathrm{T}}\mathbf{\Omega }\mathbf{T}$的迹，根据迹的交换律，我们可以得到：

$$\begin{array}{c}{I}_1^{\prime }=a_{11}^{\prime }+a_{22}^{\prime }=\mathrm{tr}({\mathbf{T}}^{\mathrm{T}}\mathbf{\Omega }\mathbf{T})=\mathrm{tr}(\mathbf{T}{\mathbf{T}}^{\mathrm{T}}\mathbf{\Omega })=\mathrm{tr}(\mathbf{\Omega })=a_{11}+a_{22}=I_1\end{array}$$

因此我们证明了$I_1$在转轴下不变。

由于$\mathbf{T}$是正交矩阵，因此$|\mathbf{T}|=1$，因此对于$I_2^{\prime }$有：

$$\begin{array}{c}{I}_2^{\prime }=|{\mathbf{T}}^{\mathrm{T}}\mathbf{\Omega }\mathbf{T}|=|{\mathbf{T}}^{\mathrm{T}}||\mathbf{\Omega }||\mathbf{T}|=|\mathbf{\Omega }|=I_2\end{array}$$

因此$I_2$在转轴下不变。

对于$I_3^{\prime }$有：

$$\begin{array}{c}{I}_3^{\prime }=\left|\begin{array}{cc}{\mathbf{T}}^{\mathrm{T}}\mathbf{\Omega }\mathbf{T}& {\mathbf{T}}^{\mathrm{T}}\mathbf{\kappa }\\ {\mathbf{\kappa }}^{\mathrm{T}}\mathbf{T}& a_0\end{array}\right|=\left|\left(\begin{array}{cc}{\mathbf{T}}^{\mathrm{T}}& 0\\ 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}\mathbf{\Omega }& \mathbf{\kappa }\\ {\mathbf{\kappa }}^{\mathrm{T}}& a_0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}\mathbf{T}& 0\\ 0& 1\end{array}\right)\right|=|{\mathbf{T}}^{\mathrm{T}}|I_3|\mathbf{T}|=I_3\end{array}$$

因此$I_3$在转轴下也不变。

综合上我们证明了，$I_1,I_2,I_3$在任意转轴下的值都不变。

移轴情况下的证明

对二次曲线做任意移轴$\mathbf{\zeta }={\mathbf{\zeta }}^{\prime \prime }+{\mathbf{\zeta }}^{\ast },{\mathbf{\zeta }}^{\ast }=(x^{\ast },y^{\ast }{)}^{\mathrm{T}}$，则移轴后二次曲线方程为：

$$\begin{array}{c}{a}_{11}(x^{\prime \prime }+x^{\ast }{)}^2+2a_{12}(x^{\prime \prime }+x^{\ast })(y^{\prime \prime }+y^{\ast })+a_{22}(y^{\prime \prime }+y^{\ast }{)}^2+2a_1(x^{\prime \prime }+x^{\ast })+2a_2(y^{\prime \prime }+y^{\ast })+a_0=0\end{array}$$

容易发现上式的二次项系数仍然是$a_{11},a_{12},a_{22}$，因此$I_1,I_2$在转轴下保持不变。将上式改写成为矩阵的形式：

$$\begin{array}{c}\begin{array}{rl}& a_{11}(x^{\prime \prime }+x^{\ast }{)}^2+2a_{12}(x^{\prime \prime }+x^{\ast })(y^{\prime \prime }+y^{\ast })+a_{22}(y^{\prime \prime }+y^{\ast }{)}^2+2a_1(x^{\prime \prime }+x^{\ast })+2a_2(y^{\prime \prime }+y^{\ast })+a_0\\ & =({\mathbf{\zeta }}^{\prime \prime }+{\mathbf{\zeta }}^{\ast }{)}^{\mathrm{T}}\mathbf{\Omega }（{\mathbf{\zeta }}^{\prime \prime }+{\mathbf{\zeta }}^{\ast })+2{\mathbf{\kappa }}^{\mathrm{T}}({\mathbf{\zeta }}^{\prime \prime }+{\mathbf{\zeta }}^{\ast })+a_0\\ & ={{\mathbf{\zeta }}^{\prime \prime }}^{\mathrm{T}}\mathbf{\Omega }{\mathbf{\zeta }}^{\prime \prime }+{{\mathbf{\zeta }}^{\prime \prime }}^{\mathrm{T}}\mathbf{\Omega }{\mathbf{\zeta }}^{\ast }+{{\mathbf{\zeta }}^{\ast }}^{\mathrm{T}}\mathbf{\Omega }{\mathbf{\zeta }}^{\prime \prime }+{{\mathbf{\zeta }}^{\ast }}^{\mathrm{T}}\mathbf{\Omega }{\mathbf{\zeta }}^{\ast }+2{\mathbf{\kappa }}^{\mathrm{T}}{\mathbf{\zeta }}^{\prime \prime }+2{\mathbf{\kappa }}^{\mathrm{T}}{\mathbf{\zeta }}^{\ast }+a_0\\ & ={{\mathbf{\zeta }}^{\prime \prime }}^{\mathrm{T}}\mathbf{\Omega }{\mathbf{\zeta }}^{\prime \prime }+{{\mathbf{\zeta }}^{\ast }}^{\mathrm{T}}\mathbf{\Omega }{\mathbf{\zeta }}^{\prime \prime }+{{\mathbf{\zeta }}^{\ast }}^{\mathrm{T}}\mathbf{\Omega }{\mathbf{\zeta }}^{\prime \prime }+{{\mathbf{\zeta }}^{\ast }}^{\mathrm{T}}\mathbf{\Omega }{\mathbf{\zeta }}^{\ast }+2{\mathbf{\kappa }}^{\mathrm{T}}{\mathbf{\zeta }}^{\prime \prime }+2{\mathbf{\kappa }}^{\mathrm{T}}{\mathbf{\zeta }}^{\ast }+a_0\\ & ={{\mathbf{\zeta }}^{\prime \prime }}^{\mathrm{T}}\mathbf{\Omega }{\mathbf{\zeta }}^{\prime \prime }+2({{\mathbf{\zeta }}^{\ast }}^{\mathrm{T}}\mathbf{\Omega }+{\mathbf{\kappa }}^{\mathrm{T}}){\mathbf{\zeta }}^{\prime \prime }+({{\mathbf{\zeta }}^{\ast }}^{\mathrm{T}}\mathbf{\Omega }{\mathbf{\zeta }}^{\ast }+2{\mathbf{\kappa }}^{\mathrm{T}}{\mathbf{\zeta }}^{\ast }+a_0)\end{array}\end{array}$$

根据$(7)$式，得到移轴后的$I_3^{\prime \prime }$：

$$\begin{array}{c}{I}_3^{\prime }=\left|\begin{array}{cc}\mathbf{\Omega }& \mathbf{\Omega }{\mathbf{\zeta }}^{\ast }+\mathbf{\kappa }\\ {{\mathbf{\zeta }}^{\ast }}^{\mathrm{T}}\mathbf{\Omega }+{\mathbf{\kappa }}^{\mathrm{T}}& {{\mathbf{\zeta }}^{\ast }}^{\mathrm{T}}\mathbf{\Omega }{\mathbf{\zeta }}^{\ast }+2{\mathbf{\kappa }}^{\mathrm{T}}{\mathbf{\zeta }}^{\ast }+a_0\end{array}\right|=\left|\left(\begin{array}{cc}\mathbf{I}& 0\\ {{\mathbf{\zeta }}^{\ast }}^{\mathrm{T}}& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}\mathbf{\Omega }& \mathbf{\kappa }\\ {\mathbf{\kappa }}^{\mathrm{T}}& a_0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}\mathbf{I}& {\mathbf{\zeta }}^{\ast }\\ 0& 1\end{array}\right)\right|=I_3\end{array}$$

因此$I_3$在转轴下也不变。

综上，我们证明了$I_1,I_2,I_3$都是二次曲线的不变量。

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二次曲线的半不变量

根据《如何利用矩阵化简平面上的二次型曲线》这篇文章中的定义，$I_3$是多项式$F(x,y)$的系数矩阵$\mathbf{C}=\left(\begin{array}{cc}\mathbf{\Omega }& \mathbf{\kappa }\\ {\mathbf{\kappa }}^{\mathrm{T}}& a_0\end{array}\right)$的行列式，而$I_2$恰好是$I_3$的一个二阶主子式$\mathbf{A}\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 1& 2\end{array}\right)$，它恰好也是二次曲线的不变量。对于$I_3$的另外两个二阶主子式$\mathbf{A}\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ 1& 3\end{array}\right)=\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_1\\ a_1& a_0\end{array}\right|$以及$\mathbf{A}\left(\begin{array}{cc}2& 3\\ 2& 3\end{array}\right)=\left|\begin{array}{cc}{a}_{22}& a_2\\ a_2& a_0\end{array}\right|$，它们在转轴与移轴中会发生什么变化？事实上，我们有如下命题：

对二次曲线$a_{11}{x}^2+2a_{12}xy+a_{22}{y}^2+2a_{1}x+2a_{2}y+a_0=0$，定义K_1为$I_3$除了$I_2$剩下另外两个二阶主子式的和：
$$K_1=\mathbf{A}\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ 1& 3\end{array}\right)+\mathbf{A}\left(\begin{array}{cc}2& 3\\ 2& 3\end{array}\right)=\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_1\\ a_1& a_0\end{array}\right|+\left|\begin{array}{cc}{a}_{22}& a_2\\ a_2& a_0\end{array}\right|$$
则称$K_1$为二次曲线的半不变量，其在转轴下不变；且对于$I_2=I_3=0$的二次曲线，$K_1$在移轴下也不变。

同样，我们分别在转轴和移轴情况下进行证明。

转轴情况下的证明

同样对二次曲线做任意转轴$\mathbf{\zeta }=\mathbf{T}{\mathbf{\zeta }}^{\prime }$，得到$(2)$式，此时${\mathbf{\kappa }}^{\prime }={\mathbf{T}}^{\mathrm{T}}\mathbf{\kappa }$。写出转轴后曲线的半不变量：

$$\begin{array}{c}\begin{array}{rl}{K}_1^{\prime }& =\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}^{\prime }& a_1^{\prime }\\ a_1^{\prime }& a_0\end{array}\right|+\left|\begin{array}{cc}{a}_{22}^{\prime }& a_2^{\prime }\\ a_2^{\prime }& a_0\end{array}\right|\\ & =(a_{11}^{\prime }+a_{22}^{\prime })a_0-(a_1^{\prime 2}+a_2^{\prime 2})\\ & =I_1^{\prime }{a}_0-{\mathbf{\kappa }}^{\prime \mathrm{T}}{\mathbf{\kappa }}^{\prime }\\ & =I_1{a}_0-({\mathbf{T}}^{\mathrm{T}}\mathbf{\kappa }{)}^{\mathrm{T}}({\mathbf{T}}^{\mathrm{T}}\mathbf{\kappa })\\ & =I_1{a}_0-{\mathbf{\kappa }}^{\mathrm{T}}\mathbf{T}{\mathbf{T}}^{\mathrm{T}}\mathbf{\kappa }\\ & =I_1{a}_0-(a_1^2+a_2^2)=K_1\end{array}\end{array}$$

因此$K_1$在转轴下不变。

对于$I_2=I_3=0$的二次曲线在移轴情况下的证明

由$I_2=0$，得到$a_{11}{a}_{22}=a_{12}^2$。由二次曲线的定义，$a_{11}$与$a_{22}$至少有一个不为零，不妨设$a_{22}\ne 0$。若$a_{11},a_{12}$都不为零，两边除以$a_{12},a_{22}$得到：

$$\begin{array}{c}\frac{a_{11}}{a_{12}}=\frac{a_{12}}{a_{22}}=k\ne 0\end{array}$$

此时$I_3$可以写为

$$\begin{array}{c}\begin{array}{rl}{I}_3& =\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_1\\ a_{12}& a_{22}& a_2\\ a_1& a_2& a_0\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}k{a}_{12}& k{a}_{22}& a_1\\ a_{12}& a_{22}& a_2\\ a_1& a_2& a_0\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}0& 0& a_1-k{a}_2\\ a_{12}& a_{22}& a_2\\ a_1& a_2& a_0\end{array}\right|\\ & =(a_1-k{a}_2)\left|\begin{array}{cc}k{a}_{22}& a_{22}\\ a_1& a_2\end{array}\right|=(a_1-k{a}_2)\left|\begin{array}{cc}0& a_{22}\\ a_1-k{a}_2& a_2\end{array}\right|\\ & =-a_{22}(a_1-k{a}_2{)}^2=0\end{array}\end{array}$$

因为$I_3=0$且$a_{22}\ne 0$，所以$a_1-k{a}_2=0$，结合$(10)$式有：

$$\begin{array}{c}\frac{a_{11}}{a_{12}}=\frac{a_{12}}{a_{22}}=\frac{a_1}{a_2}=k\ne 0\end{array}$$

对二次曲线做任意移轴$\mathbf{\zeta }={\mathbf{\zeta }}^{\prime \prime }+{\mathbf{\zeta }}^{\ast }$，根据$(6)$式写出$\mathbf{A}\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ 1& 3\end{array}\right)$：

$$\begin{array}{c}\begin{array}{rl}\mathbf{A}\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ 1& 3\end{array}\right)& =\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}^{\prime \prime }& a_1^{\prime \prime }\\ a_1^{\prime \prime }& a_0^{\prime \prime }\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{11}{x}^{\ast }+a_{12}{y}^{\ast }+a_1\\ a_{11}{x}^{\ast }+a_{12}{y}^{\ast }+a_1& a_{11}{x^{\ast }}^2+2a_{12}{x}^{\ast }{y}^{\ast }+a_{22}{y^{\ast }}^2+2a_1{x}^{\ast }+2a_2{y}^{\ast }+a_0\end{array}\right|\\ & =\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}{y}^{\ast }+a_1\\ a_{11}{x}^{\ast }+a_{12}{y}^{\ast }+a_1& a_{12}{x}^{\ast }{y}^{\ast }+a_{22}{y^{\ast }}^2+a_1{x}^{\ast }+2a_2{y}^{\ast }+a_0\end{array}\right|\\ & =\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}{y}^{\ast }+a_1\\ a_{12}{y}^{\ast }+a_1& a_{22}{y^{\ast }}^2+2a_2{y}^{\ast }+a_0\end{array}\right|\end{array}\end{array}$$

将$(12)$式代入上式，我们得到：

$$\begin{array}{c}\begin{array}{rl}\mathbf{A}\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ 1& 3\end{array}\right)& =\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& \frac{a_{11}}{k}{y}^{\ast }+a_1\\ \frac{a_{11}}{k}{y}^{\ast }+a_1& \frac{a_{11}}{k^2}{y^{\ast }}^2+2\frac{a_1}{k}{y}^{\ast }+a_0\end{array}\right|\\ & =\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_1\\ \frac{a_{11}}{k}{y}^{\ast }+a_1& \frac{a_1}{k}{y}^{\ast }+a_0\end{array}\right|\\ & =\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_1\\ a_1& a_0\end{array}\right|\end{array}\end{array}$$

由$(14)$式我们证得，$\mathbf{A}\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ 1& 3\end{array}\right)$在$a_{11},a_{12}$都不为零时不变。

若$a_{11},a_{12}$都为零，则$I_3$可以写为：

$$\begin{array}{c}{I}_3=\left|\begin{array}{ccc}0& 0& a_1\\ 0& a_{22}& a_2\\ a_1& a_2& a_0\end{array}\right|=-a_1^2{a}_{22}=0\end{array}$$

因此$a_1$=0，代入$(13)$式，我们得到$\mathbf{A}\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ 1& 3\end{array}\right)$仍然不变：

$$\begin{array}{c}\begin{array}{rl}\mathbf{A}\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ 1& 3\end{array}\right)& =\left|\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& a_{22}{y^{\ast }}^2+2a_2{y}^{\ast }+a_0\end{array}\right|=0=\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_1\\ a_1& a_0\end{array}\right|\end{array}\end{array}$$

因此，我们证得，在$I_2=I_3=0$时，移轴后$I_3$的二阶主子式$\mathbf{A}\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ 1& 3\end{array}\right)$不变。用上面同样的方法我们可以证得二阶主子式$\mathbf{A}\left(\begin{array}{cc}2& 3\\ 2& 3\end{array}\right)$同样不变。综上，我们证明了命题：$K_1$在转轴下不变；且对于$I_2=I_3=0$的二次曲线，$K_1$在移轴下也不变。

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利用二次曲线的不变量和半不变量确定曲线类型

现在我们可以利用二次曲线的不变量和半不变量来确定曲线类型和形状了。假设二次曲线最终通过转轴和移轴变成了最简形式，那么
根据文章《如何利用矩阵化简平面上的二次型曲线》中的讨论结果，会有以下几种情况。

1. 椭圆型和双曲型曲线

此时曲线的方程可以写为$a_{11}^{\prime }{x^{\prime \prime }}^2+a_{22}^{\prime }{y^{\prime \prime }}^2+c=0$。由于$I_1,I_2,I_3$是不变量，因此有

$$\begin{array}{rl}{I}_1& =a_{11}^{\prime }+a_{22}^{\prime }\\ I_2& =\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}^{\prime }& 0\\ 0& a_{22}^{\prime }\end{array}\right|=a_{11}^{\prime }{a}_{22}^{\prime }\\ I_3& =\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}^{\prime }& 0& 0\\ 0& a_{22}^{\prime }& 0\\ 0& 0& c\end{array}\right|=c{I}_2\end{array}$$

1. 当$I_2>0$时，曲线是椭圆型，此时若$I_3$与$I_1$异号，则曲线是个椭圆；若$I_3$与$I_1$同号，则曲线是个虚椭圆；若$I_3$=0，曲线退化为一个点。
2. 当$I_2<0$时，曲线是双曲型，，此时若$I_3\ne 0$，则曲线是个双曲线；若$I_3=0$，则曲线是一对交叉直线。

2. 抛物型曲线

若$I_2=0$，则曲线是抛物型曲线。不妨设$a_{22}^{\prime }\ne 0$。若曲线是抛物线，此时方程可以写为$a_{22}^{\prime }{y^{\prime \prime }}^2+2a_1^{\prime }{x}^{\prime \prime }=0$，此时有：

$$\begin{array}{rl}{I}_1& =a_{22}^{\prime }\\ I_2& =\left|\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& a_{22}^{\prime }\end{array}\right|=0\\ I_3& =\left|\begin{array}{ccc}0& 0& a_1^{\prime }\\ 0& a_{22}^{\prime }& 0\\ a_1^{\prime }& 0& 0\end{array}\right|=-a_1^2{a}_{22}^{\prime }=-I_1{a}_1^2\end{array}$$

若$I_3=0$ ，此时方程可以写为$a_{22}^{\prime }{y^{\prime \prime }}^2+c=0$，则有

$$\begin{array}{rl}{I}_1& =a_{22}^{\prime }\\ I_2& =\left|\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& a_{22}^{\prime }\end{array}\right|=0\\ I_3& =\left|\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& a_{22}^{\prime }& 0\\ 0& 0& c\end{array}\right|=0\end{array}$$

$K_1$在这种情况下也是不变量，因此有

$$K_1=\left|\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right|+\left|\begin{array}{cc}{a}_{22}^{\prime }& 0\\ 0& c\end{array}\right|=c{I}_1$$

综上有：

1. 当$I_2=0,I_3\ne 0$时，曲线是一个抛物线。
2. 当$I_2=I_3=0$时，曲线是一对直线，此时若$K_1<0$，则曲线是一对平行直线；若$K_1>0$，则曲线是一对虚平行直线；若$K_1=0$，则曲线是一对重合直线。