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公司装修款账务处理_免费推广企业网站_长沙seo公司排名_网站优化入门免费教程

2024/12/31 12:43:45 来源：https://blog.csdn.net/m0_53605808/article/details/144589265 浏览: 次关键词：公司装修款账务处理_免费推广企业网站_长沙seo公司排名_网站优化入门免费教程

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1. 问题描述

感知机收敛性定理假设：

存在一个参数向量 θ（被归一化为单位向量， $||\theta^*|| = 1$ ，以及一个正数 $\gamma > 0$ ，使得对所有训练样本 $(x_t, y_t)$ 满足：
$y_t (x_t \cdot \theta^*) \geq \gamma$
这是线性可分的假设，意味着每个样本点与正确超平面之间有一个至少为 $\gamma$ 的几何边距。
输入特征向量 $x_t$ 的欧几里得范数满足 $||x_t|| \leq R$ 。

目标是证明感知机算法在最坏情况下，最多会发生 $\frac{R^2}{\gamma^2}$ 次更新（即错误分类次数）。

2. 感知机算法回顾

感知机算法的核心是更新规则：

初始化 $\theta = 0$ ；
对于每个训练样本 $(x_t, y_t)$ ，如果当前参数向量 θ 的预测错误： $y_t (x_t \cdot \theta) \leq 0$ 则更新： $\theta \leftarrow \theta + y_t x_t$

3. 证明过程

证明分为两部分：

(1) 参数向量与理想向量的内积下界

定义 $\theta_k$ 为算法在第 k 次错误更新后的参数向量。

初始条件： $\theta_1 = 0$ 。
假设第 k 次错误发生在样本 t 上，则更新为：
$\theta_{k+1} = \theta_k + y_t x_t$
对 $\theta_{k+1} \cdot \theta^*$ 进行展开：
$\theta_{k+1} \cdot \theta^* = (\theta_k + y_t x_t) \cdot \theta^*$ $=\theta_k \cdot \theta^* + y_t (x_t \cdot \theta^*)$
由假设 $y_t (x_t \cdot \theta^*) \geq \gamma$ ，得到：
$\theta_{k+1} \cdot \theta^* \geq \theta_k \cdot \theta^* + \gamma$
通过数学归纳法可以证明：
$\theta_{k+1} \cdot \theta^* \geq k \gamma$

(2) 参数向量的范数上界

接下来对 $||\theta_k||^2$ 进行分析：

参数更新后，范数为：
$||\theta_{k+1}||^2 = ||\theta_k + y_t x_t||^2$
展开平方项：
$||\theta_{k+1}||^2 = ||\theta_k||^2 + ||y_t x_t||^2 + 2 (\theta_k \cdot y_t x_t)$
由于 $y_t^2 = 1$ 且 $||x_t|| \leq R$ ，因此 $||y_t x_t||^2 = ||x_t||^2 \leq R^2$ 。同时，因为更新发生在错误分类的样本上，意味着：
$y_t (\theta_k \cdot x_t) \leq 0$
所以 $2 (\theta_k \cdot y_t x_t) \leq 0$ 。
因此可以得到：
$||\theta_{k+1}||^2 \leq ||\theta_k||^2 + R^2$
通过数学归纳法可得：
$||\theta_{k+1}||^2 \leq k R^2$

(3) 综合上下界

结合上述两部分结果：

从内积下界： $||\theta_{k+1}|| \geq \theta_{k+1} \cdot \theta^* \geq k \gamma$
从范数上界： $||\theta_{k+1}||^2 \leq k R^2$

两者结合：

$k^2 \gamma^2 \leq ||\theta_{k+1}||^2 \leq k R^2$

整理得：

$k \leq \frac{R^2}{\gamma^2}$

这表明，感知机算法最多进行 $\frac{R^2}{\gamma^2}$ 次错误更新后收敛。

4. 直观理解

几何解释：感知机每次更新都会使参数向量 θ 朝着正确分类的方向前进，并逐渐接近理想向量 $\theta^*$ 。
收敛性条件：如果训练数据是线性可分的，存在一个几何边距 $\gamma$ ，感知机能够找到一个分离超平面。
错误次数的影响因素：
- R ：数据的最大范数，表示样本点的“大小”。
- $\gamma$ ：几何边距，表示样本点到分离超平面的最小距离。

5. 总结

感知机的收敛性证明基于：

更新过程中参数向量与理想向量的内积逐渐增大；
参数向量的范数增长受限；
通过两者关系，推导出错误更新次数的上界。

证明的核心是利用数学归纳法和不等式，将错误次数限制在 $\frac{R^2}{\gamma^2}$ 以内，表明感知机算法在有限次错误更新后收敛。

参考文献：Collins M. Convergence proof for the perceptron algorithm[J]. Lecture Notes, Columbia University, Link, 2012.

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