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空间直线

参数方程

直线上一点 $M_0(x_0,y_0,z_0)$ ，直线方向向量 $\vec{v}=(l,m,n)$
$$\{\begin{array}{rl}x& =x_0+tl\\ y& =y_0+tm\\ z& =z_0+tn\end{array}$$

点向式

$$\frac{x-x_0}{l}=\frac{y-y_0}{m}=\frac{z-z_0}{n}=t$$

两点式

$$\frac{x-x_1}{x_2-x_1}=\frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{z-z_1}{z_2-z_1}$$

一般式

$$\{\begin{array}{c}{A}_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_1=0\\ A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_2=0\end{array}$$

射影式

对称式 $\Rightarrow$ 一般式

$$\begin{array}{c}\frac{x-x_0}{l}=\frac{y-y_0}{m}=\frac{z-z_0}{n}\to \{\begin{array}{c}{A}_{1}x+C_{1}z+D_1=0\\ B_{2}y+C_{2}z+D_2=0\end{array}\end{array}$$

直线平面位置关系

相交

$$Al+Bm+Cn\ne 0$$

平行

$$\begin{gathered} Al+Bm+Cn=0 \\ A{x}_0+B{y}_0+C{z}_0+D\ne 0 \end{gathered}$$

在平面内

$$\begin{gathered} Al+Bm+Cn=0 \\ A{x}_0+B{y}_0+C{z}_0+D=0 \end{gathered}$$

两直线关系

异面

直线上两点 $M_1,M_2$ ，异面 $\iff$ $\left(\overrightarrow{M_1{M}_2},\overrightarrow{v_1},\overrightarrow{v_2}\right)\ne 0$，即
$$\Delta =\left|\begin{array}{ccc}{x}_2-x_1& y_2-y_1& z_2-z_1\\ l_1& m_1& n_1\\ l_2& m_2& n_2\end{array}\right|\ne 0$$

共面

直线上两点 $M_1,M_2$ ，共面 $\iff$ $\left(\overrightarrow{M_1{M}_2},\overrightarrow{v_1},\overrightarrow{v_2}\right)=0$，即
Δ = ∣ x 2 − x 1 y 2 − y 1 z 2 − z 1 l 1 m 1 n 1 l 2 m 2 n 2 ∣ = 0 \Delta =\left| \begin{array}{ccc} x_2 - x_1 & y_2 - y_1 & z_2 - z_1 \\ l_1 & m_1 & n_1 \\ l_2 & m_2 & n_2 \end{array} \right| = 0 Δ=